数理論理学・集合論の問題

$\sigma$ を自己同型とする。$\sigma$ は $R$ で一階定義できる性質を保つ。

$1$ と素数. $1$ は「すべての元を割り切る唯一の元」なので $\sigma (1)=1$。素数は「$1$ と自分自身以外に約数をもたない元（$1$ 以外）」として定義できるので、$\sigma$ は素数全体 $\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}$ を自分自身に移す。さらに、自分以外の倍数の個数も保たれる。$A$ の中での素数 $p$ の（自分以外の）倍数の個数は $\lfloor 30/p\rfloor -1$ で
- $2$: $14$ 個, $3$: $9$ 個, $5$: $5$ 個, $7$: $3$ 個
- $11,13$: $1$ 個ずつ（$22$, $26$）
- $17,19,23,29$: $0$ 個

よって $\sigma$ は $2,3,5,7$ を固定し、$\{11,13\}$ と $\{17,19,23,29\}$ をそれぞれの中で置換する。

合成数. 合成数 $n$ は、自分以外の約数全体の集合 $D^{\prime }(n)$ で決まる（$n$ が 2 種類以上の素因数をもつなら $n=\mathrm{lcm}{D}^{\prime }(n)$、$n=p^k$ なら $D^{\prime }(n)=\{1,p,\dots ,p^{k-1}\}$ となる数は $p^k$ だけ）。$\sigma (D^{\prime }(n))=D^{\prime }(\sigma (n))$ なので、$n$ の小さい順に帰納的に考えると、$\sigma$ は素因数が $2,3,5,7$ だけの数をすべて固定する。$22=2\cdot 11$, $26=2\cdot 13$ については、$\sigma (11)=11$ なら $22,26$ は固定、$\sigma (11)=13$ なら $\sigma (22)=26$, $\sigma (26)=22$ と決まる。

したがって $\sigma$ は $\{11,13\}$ 上の置換と $\{17,19,23,29\}$ 上の置換で完全に決まり、その組は高々 $2!\cdot 4!=48$ 通り。

逆に、すべて自己同型になること. $\{11,13\}$ と $\{17,19,23,29\}$ 上の置換 $\pi$ を任意にとり、$\sigma$ を「各数の素因数分解において素数 $p$ を $\pi (p)$（$2,3,5,7$ は自分自身）に置き換える」写像とする。これらの素数は $A$ の中では $22,26$ 以外の合成数に現れず、$22\leftrightarrow 26$ も $A$ の中に収まるので、$\sigma$ は $A$ の全単射であり、素因数分解の指数を保つので割り切る関係を保つ。

以上より、自己同型の個数は $2\cdot 24=48$ である。

$\mathcal{M}$ は $\{1,\dots ,30\}$ の約数関係による半順序集合であり、自己同型はこの順序の自己同型（順序同型）と同じ。

1 は最小元なので固定される。1 の直上の元（原子）は素数 $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$。自己同型は各元の上方集合（倍数の集合）の大きさを保つ。上方集合の大きさ：
$2:15,3:10,5:6,7:4,11:2(\{11,22\}),13:2(\{13,26\}),17,19,23,29:1$。

よって $2,3,5,7$ は固定される。$11,13$ は入れ替えうる。$17,19,23,29$ は互いに入れ替えうる。

それ以外の元は原子を固定して決まる：高さ（$\Omega (n)$）ごとに、各元はその下方集合の原子の集合（および下の段の元）で特定できる。
- 高さ 2: $4\{2\},6\{2,3\},9\{3\},10\{2,5\},14\{2,7\},15\{3,5\},21\{3,7\},22\{2,11\},25\{5\},26\{2,13\}$ はすべて原子集合が異なる。
- 高さ 3: $8,12,18,20,27,28,30$ は直下の高さ 2 の元の集合が $\{4\},\{4,6\},\{6,9\},\{4,10\},\{9\},\{4,14\},\{6,10,15\}$ とすべて異なる。
- 高さ 4: $16$（直下 $\{8\}$）, $24$（直下 $\{8,12\}$）も異なる。

したがって自己同型は原子の置換で決まる。許される原子の置換は $\{17,19,23,29\}$ の任意の置換 ($4!=24$) と $\{11,13\}$ の入れ替え（$22\leftrightarrow 26$ を伴い、実際に自己同型になる、$2$ は固定）の 2 通り。

$24\times 2=48$。