離散数学・組合せ論の問題

回転群の面への作用. 正八面体の回転群 $G$（位数 $24$）の元を、$8$ 枚の面の置換として巡回の型で分類する。
- 恒等変換（$1$ 個）: $1$ 巡回が $8$ 個。
- 向かい合う頂点を通る軸のまわりの $\pm 90^{\circ }$ 回転（軸 $3$ 本 $\times 2=6$ 個）: 一方の頂点のまわりの $4$ 面、他方の頂点のまわりの $4$ 面がそれぞれ $4$ 巡回。型 $(4,4)$。
- 同じ軸のまわりの $180^{\circ }$ 回転（$3$ 個）: 型 $(2,2,2,2)$。
- 向かい合う面の中心を通る軸のまわりの $\pm 120^{\circ }$ 回転（軸 $4$ 本 $\times 2=8$ 個）: 軸が通る $2$ 面は固定、残り $6$ 面は $3$ 巡回 $2$ 個。型 $(1,1,3,3)$。
- 向かい合う辺の中点を通る軸のまわりの $180^{\circ }$ 回転（$6$ 個）: 固定される面はなく、型 $(2,2,2,2)$。

（個数の合計 $1+6+3+8+6=24$。）

各元が固定する塗り方の個数. 置換 $g$ が塗り方を固定する $⟺$ $g$ の各巡回に属する面がすべて同じ色。色の枚数は赤 $2$、青 $3$、緑 $3$。
- 恒等変換: すべての塗り方 $\frac{8!}{2!3!3!}=\frac{40320}{72}=560$ 通り。
- 型 $(4,4)$: 各色の枚数が $4$ の倍数でなければならないが $2,3,3$ はそうでないので $0$ 通り。
- 型 $(2,2,2,2)$（$3+6=9$ 個）: 各色の枚数が偶数でなければならないが青は $3$ 枚なので $0$ 通り。
- 型 $(1,1,3,3)$: $3$ 巡回は $3$ 枚同色なので、赤（$2$ 枚）は $3$ 巡回に入れられない。したがって固定された $2$ 面が赤、$2$ つの $3$ 巡回の一方が青、他方が緑。$2$ 通り。

バーンサイドの補題.
$$\frac{1}{24}(560+6\cdot 0+9\cdot 0+8\cdot 2)=\frac{576}{24}=24.$$

答えは $24$ 通り。

正八面体の面は立方体の頂点に対応し、回転群（位数 24）の作用も対応するので、立方体の 8 頂点を赤 2・青 3・緑 3 に塗る塗り方を数える。全塗り方は $\frac{8!}{2!3!3!}=560$。バーンサイドの補題で各回転の不動点数を求める。恒等: 560。面の中心軸の $90^{\circ },270^{\circ }$ 回転（6 個）: 4-サイクル 2 個で、色数 2,3,3 は 4 の倍数の和にならず 0。面軸の $180^{\circ }$ 回転（3 個）: 2-サイクル 4 個で、色数 3 が奇数のため 0。頂点軸の $120^{\circ },240^{\circ }$ 回転（8 個）: 固定点 2 個と 3-サイクル 2 個。赤 2 は固定点 2 個に置くしかなく、青・緑は 2 つの 3-サイクルに振り分けて 2 通り。よって各 2、計 16。辺軸の $180^{\circ }$ 回転（6 個）: 2-サイクル 4 個で色数 3 が奇数のため 0。合計 $(560+16)/24=24$。