離散数学・組合せ論の問題

正四面体の回転群 $G$ は 12 個の元からなり、次のように分類できる。
- 恒等変換: 1 個
- 頂点と対面の重心を通る軸のまわりの $120^{\circ }$, $240^{\circ }$ 回転: 軸 4 本 $\times$ 2 = 8 個
- 向かい合う 2 辺（ねじれの位置にある 2 辺）の中点を通る軸のまわりの $180^{\circ }$ 回転: 軸 3 本 $\times$ 1 = 3 個

合計 $1+8+3=12$ 個である。

各回転が 6 本の辺に引き起こす置換の巡回の個数を $c$ とすると、その回転で動かない塗り方は $3^c$ 通りである（同じ巡回に属する辺は同じ色でなければならない）。
- 恒等変換: 6 本の辺がすべて固定され $c=6$。$3^6=729$ 通り。
- $120^{\circ }$, $240^{\circ }$ 回転: 頂点 $A$ を通る軸なら、$A$ から出る 3 辺が 1 つの 3-巡回、対面の 3 辺がもう 1 つの 3-巡回をなし $c=2$。$3^2=9$ 通り。
- $180^{\circ }$ 回転: 軸が通る 2 辺はそれぞれ自分自身に移り（向きは逆になるが辺としては固定）、残りの 4 辺は 2 つの互換をなすので $c=4$。$3^4=81$ 通り。

バーンサイドの補題より、異なる塗り方の数は
$$\frac{1}{12}\left(729+8\cdot 9+3\cdot 81\right)=\frac{729+72+243}{12}=\frac{1044}{12}=87.$$

正四面体の回転群は位数 12。各元で辺（6 本）のサイクル数 $c$ を求め、不動な塗り方 $3^c$ を数える。恒等: $c=6$、$3^6=729$。頂点を通る軸の $120^{\circ },240^{\circ }$ 回転（8 個）: 頂点まわりの 3 辺が 1 サイクル、底面の 3 辺が 1 サイクルで $c=2$、$3^2=9$ ずつ、計 72。対辺の中点を通る軸の $180^{\circ }$ 回転（3 個）: 軸上の 2 辺は固定、残り 4 辺は 2 つの互換で $c=4$、$3^4=81$ ずつ、計 243。合計 $(729+72+243)/12=1044/12=87$。