離散数学・組合せ論の問題

立方体の回転群 $G$（24 個の元）を分類し、各回転が 12 本の辺に引き起こす置換の巡回の型を調べる。

（$90^{\circ }$ 回転では上面の 4 辺・下面の 4 辺・側面の 4 本の縦の辺がそれぞれ 4-巡回をなす。辺の中点を通る軸の $180^{\circ }$ 回転では、軸が通る 2 辺が固定され、残り 10 辺が 5 つの互換をなす。）

回転で動かない塗り方では、各巡回の辺はすべて同じ色である。赤がちょうど 6 本になるように巡回を選ぶ方法を数える。
- 恒等変換: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}\right)=924$。
- $\pm 90^{\circ }$: 長さ 4 の巡回の和で 6 は作れないので $0$。
- 面の軸の $180^{\circ }$: 6 個の 2-巡回から 3 個を赤にして $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$。
- $\pm 120^{\circ }$: 4 個の 3-巡回から 2 個を赤にして $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$。
- 辺の軸の $180^{\circ }$: 固定された 2 辺のうち赤にする本数を $r$ とすると、$6-r$ は偶数でなければならないので $r=0$ または $r=2$。$r=0$ なら 2-巡回 5 個から 3 個を選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$、$r=2$ なら 2 個を選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$。合計 $20$。

バーンサイドの補題より
$$\frac{1}{24}\left(924+6\cdot 0+3\cdot 20+8\cdot 6+6\cdot 20\right)=\frac{924+60+48+120}{24}=\frac{1152}{24}=48.$$

回転群（位数 24）によるバーンサイドの補題を用いる。全塗り方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}\right)=924$。恒等: 924。面軸の $90^{\circ },270^{\circ }$ 回転（6 個）: 辺は 4-サイクル 3 個で、赤 6 本は 4 の倍数の和にならず 0。面軸の $180^{\circ }$ 回転（3 個）: 2-サイクル 6 個から赤にする 3 個を選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$、計 60。頂点軸の $120^{\circ },240^{\circ }$ 回転（8 個）: 3-サイクル 4 個から赤にする 2 個を選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$、計 48。辺軸の $180^{\circ }$ 回転（6 個）: 固定される辺 2 本と 2-サイクル 5 個。固定辺の赤が 0 本なら残り 6 本の赤で 3 サイクル選び $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$、2 本なら残り 4 本で 2 サイクル選び $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$、1 本だと残りが奇数で不可。よって 20 ずつ、計 120。合計 $(924+0+60+48+120)/24=1152/24=48$。