離散数学・組合せ論の問題

群と作用の確認　扇形に時計回りに $0,1,2,3,4,5$ と番号をつける。円板を自分自身に重ねる回転は、$60^{\circ }\times k$ の回転 $r^k$（$k=0,1,2,3,4,5$）の $6$ 通りである。これらは位数 $6$ の巡回群 $G$ をなし、$r^k$ は扇形 $i$ を扇形 $i+k(\mathrm{mod}6)$ に移す。

バーンサイドの補題より、異なる塗り方の個数は
$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|$$
である。ここで $\mathrm{Fix}(g)$ は、回転 $g$ で動かしても変わらない塗り方の集合である。

各回転で固定される塗り方を数える　回転 $g$ で塗り方が変わらないのは、$g$ を巡回置換に分解したとき、同じ巡回置換に含まれる扇形がすべて同じ色のときである。したがって、巡回置換が $c$ 個あれば $|\mathrm{Fix}(g)|=2^c$ となる。$r^k$ を巡回置換に分解すると、長さ $\frac{6}{\gcd (k,6)}$ の巡回置換が $\gcd (k,6)$ 個できる。

• $k=0$（恒等変換）：$6$ 個の扇形がそれぞれ動かないので $c=6$ であり、$2^6=64$ 通り。
• $k=1$（$60^{\circ }$）：$(012345)$ で $c=1$ であり、$2^1=2$ 通り。
• $k=2$（$120^{\circ }$）：$(024)(135)$ で $c=2$ であり、$2^2=4$ 通り。
• $k=3$（$180^{\circ }$）：$(03)(14)(25)$ で $c=3$ であり、$2^3=8$ 通り。
• $k=4$（$240^{\circ }$）：$(042)(153)$ で $c=2$ であり、$2^2=4$ 通り。
• $k=5$（$300^{\circ }$）：$(054321)$ で $c=1$ であり、$2^1=2$ 通り。

平均をとる
$$\frac{1}{6}(64+2+4+8+4+2)=\frac{84}{6}=14$$

よって、異なる塗り方は $14$ 通りである。

バーンサイドの補題を用いる。回転群は位数 6 の巡回群 $C_6$ で、回転角 $60^{\circ }k$（$k=0,\dots ,5$）の各回転で固定される塗り方の数は $2^{\text{(巡回置換の個数)}}$ である。

• $k=0$（恒等）: 巡回置換 6 個 → $2^6=64$
• $k=1,5$: 巡回置換 1 個 → $2^1=2$ が各 1 回、計 2 個
• $k=2,4$: 巡回置換 2 個 → $2^2=4$ が 2 回
• $k=3$: 巡回置換 3 個 → $2^3=8$

合計は $64+2+4+8+4+2=84$。よって $84/6=14$ 通り。

検算：ネックレス数 $N(6,2)=14$ は既知の値と一致する。黒の個数別に数えると、0 個:1、1 個:1、2 個:3、3 個:4、4 個:3、5 個:1、6 個:1 で合計 $1+1+3+4+3+1+1=14$。