離散数学・組合せ論の問題

手順 1：各回転が頂点に引き起こす置換の巡回の型を調べる。

頂点を順に $1,2,3,4,5,6$ とする。

• $0^{\circ }$（恒等変換）：6 個の長さ 1 の巡回 → $s_1^6$
• $60^{\circ },300^{\circ }$：$(123456)$ のような長さ 6 の巡回 1 個 → $s_6$（2 通り）
• $120^{\circ },240^{\circ }$：$(135)(246)$ のような長さ 3 の巡回 2 個 → $s_3^2$（2 通り）
• $180^{\circ }$：$(14)(25)(36)$ で長さ 2 の巡回 3 個 → $s_2^3$

手順 2：巡回指数を作る。 回転は全部で 6 通りなので、
$$Z(s_1,s_2,s_3,s_6)=\frac{1}{6}\left(s_1^6+s_2^3+2s_3^2+2s_6\right).$$

手順 3：$s_j$ に $r^j+b^j$ を代入し、$r^3{b}^3$ の係数を求める。

• $s_1^6=(r+b{)}^6$ の $r^3{b}^3$ の係数は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$。
• $s_2^3=(r^2+b^2{)}^3$ の各項は $r$ の指数が偶数なので、$r^3{b}^3$ の係数は $0$。
• $s_3^2=(r^3+b^3{)}^2=r^6+2r^3{b}^3+b^6$ の $r^3{b}^3$ の係数は $2$。これが 2 通りあるので $2\times 2=4$。
• $s_6=r^6+b^6$ の $r^3{b}^3$ の係数は $0$。

よって求める数は
$$\frac{1}{6}(20+0+4+0)=\frac{24}{6}=4.$$

（確認：赤を R、青を B として、RRRBBB, RRBRBB, RRBBRB, RBRBRB の 4 通りである。）

答え：$4$ 通り

回転群 $C_6$（位数 6）の作用のもとで、赤 3 個・青 3 個の塗り方の軌道数をバーンサイドの補題で数える。

各回転について、固定される塗り方の数を求める。
- $0^{\circ }$（恒等）: 巡回指数の項は $x_1^6$。固定される塗り方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 通り。
- $60^{\circ },300^{\circ }$: 項は $x_6$（サイクル長 6 が 1 個）。全頂点が同色になるので、赤 3 個・青 3 個にはならず 0 通り。これが 2 個。
- $120^{\circ },240^{\circ }$: 項は $x_3^2$（長さ 3 のサイクルが 2 個）。各サイクルは単色。赤 3 個にするには一方のサイクルだけ赤にすればよいので 2 通り。これが 2 個。
- $180^{\circ }$: 項は $x_2^3$（長さ 2 のサイクルが 3 個）。赤 3 個は 2 個ずつのサイクルでは作れず（3 は奇数）0 通り。

巡回指数は $Z=\frac{1}{6}(x_1^6+x_2^3+2x_3^2+2x_6)$ である。$x_k=r^k+b^k$ を代入し、$r^3{b}^3$ の係数を取る。
- $x_1^6$: 20
- $x_2^3$: 0
- $x_3^2=(r^3+b^3{)}^2$: $r^3{b}^3$ の係数は 2。これが 2 個なので 4
- $x_6$: 0

合計 $20+0+4+0=24$ なので、$24/6=4$ 通り。

検算: 赤の位置を列挙する。円周上で赤が 3 連続のもの（RRRBBB）、赤が 2 連続＋1 個で間が空くもの（RRBRBB と RRBBRB は鏡像で回転では別）、交互（RBRBRB）。これで 1+2+1=4 通りとなり、一致する。