代数学の問題

手順 1：$G$ の位数を求める。
$45=3^2\cdot 5$ なので、オイラー関数により
$$|G|=\phi (45)=\phi (9)\phi (5)=(9-3)(5-1)=6\cdot 4=24.$$

手順 2：中国剰余定理で分解する。
$9$ と $5$ は互いに素なので、中国剰余定理により
$$\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$
であり、単元群どうしも対応して
$$G\cong (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }$$
となる。

手順 3：各成分が巡回群であることを確かめる。
- $\mathrm{mod}9$ で $2$ の累乗は $2,4,8,7,5,1$ となり、$2$ の位数は $6=\phi (9)$。よって $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。
- $\mathrm{mod}5$ で $2$ の累乗は $2,4,3,1$ となり、$2$ の位数は $4=\phi (5)$。よって $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。

したがって $G\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。

手順 4：元の位数の最大値を求める。
直積の元 $(a,b)$ の位数は、$a$ の位数と $b$ の位数の最小公倍数である。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の元の位数は $6$ の約数、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の元の位数は $4$ の約数なので、位数は $\mathrm{lcm}(6,4)=12$ 以下であり、生成元どうしの組 $(1,1)$ の位数はちょうど $12$ となる。

（確認：$x\equiv 2(\mathrm{mod}9),x\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ をみたす $x=2$ を考えると、$2^{12}=4096=45\cdot 91+1\equiv 1(\mathrm{mod}45)$、$2^4=16\not\equiv 1$、$2^6=64\equiv 19\not\equiv 1(\mathrm{mod}45)$ なので、$2$ の位数は $12$。）

よって求める最大値は $12$。なお $|G|=24$ だが、$G$ は巡回群ではないので位数 $24$ の元は存在しない。

$45=9\cdot 5$ より、中国剰余定理から $G\cong (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }$ である。
$(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 $\phi (9)=6$ の巡回群（2 が原始根: $2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=7,2^5=5,2^6=1$）。
$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 4 の巡回群（2 が原始根）。
したがって $G\cong C_6\times C_4$ で、$|G|=\phi (45)=24$。
元の位数の最大値は $6$ と $4$ の最小公倍数 $\mathrm{lcm}(6,4)=12$（群の指数 exponent、カーマイケル関数 $\lambda (45)=\mathrm{lcm}(6,4)=12$）。
確認: 元 $2$ mod 45 は mod 9 で位数 6、mod 5 で位数 4 なので位数 12。実際 $2^{12}=4096=45\cdot 91+1$ で $4096-4095=1$ となり成り立つ。$2^6=64\equiv 19$、$2^4=16$ で 1 ではないので位数 12。また位数は群の位数 24 の約数だが 24 は巡回でないので 24 にはならない。よって最大値は 12。