代数学の問題

手順 1：位数を求める。 $35=5\cdot 7$ なので、オイラー関数により
$$|G|=\phi (35)=\phi (5)\phi (7)=4\cdot 6=24$$
である。

手順 2：中国剰余定理で分解する。 $\gcd (5,7)=1$ なので、中国剰余定理より $x\mathrm{mod}35\mapsto (x\mathrm{mod}5,x\mathrm{mod}7)$ は環の同型 $\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ を与える。単元どうしが対応するので、
$$G\cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }$$
となる。素数 $p$ に対して $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 $p-1$ の巡回群であるから、
$$G\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$
である（位数は $4\cdot 6=24$ で、手順 1 と一致する）。

手順 3：元の位数の最大値を求める。 直積の元 $(a,b)$ の位数は、$a$ の位数と $b$ の位数の最小公倍数である。$a$ の位数は $4$ の約数、$b$ の位数は $6$ の約数なので、位数は $\mathrm{lcm}(4,6)=12$ 以下である。さらに $a$ を $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の生成元、$b$ を $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の生成元にとれば、位数はちょうど $\mathrm{lcm}(4,6)=12$ になる。

（確認）$3$ は $\mathrm{mod}5$ で位数 $4$（$3^2\equiv 4,3^4\equiv 1$）、$\mathrm{mod}7$ で位数 $6$（$3^2\equiv 2,3^3\equiv 6,3^6\equiv 1$）なので、$3\mathrm{mod}35$ の位数は $12$ である。実際、$3^4=81\equiv 11$、$3^6=729\equiv 29$、$3^{12}\equiv 29^2=841\equiv 1(\mathrm{mod}35)$ である。

よって、求める最大値は $12$ である。

中国剰余定理より $(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong C_4\times C_6$。位数は $\phi (35)=4\cdot 6=24$。元の位数の最大値は群の指数（元の位数の最小公倍数）で、$C_4\times C_6$ では $\mathrm{lcm}(4,6)=12$。$C_4\times C_6$ の元 $(a,b)$ の位数は $\mathrm{lcm}(\text{ord }a,\text{ord }b)$ であり、$4$ と $6$ の位数の元を取れば $12$ に達する。具体例: $2\mathrm{mod}5$ は位数 4、$3\mathrm{mod}7$ は位数 6（原始根）。$x\equiv 2(\mathrm{mod}5),x\equiv 3(\mathrm{mod}7)$ より $x=17$。検算: $17^2=289\equiv 289-280=9$, $17^4\equiv 81\equiv 11$, $17^6=17^4\cdot 17^2\equiv 11\cdot 9=99\equiv 29$, $17^{12}\equiv 29^2=841=24\cdot 35+1\equiv 1$。$17^6\equiv 29\ne 1$, $17^4\equiv 11\ne 1$ なので位数は $12$。群の位数 24 の約数で 12 より大きいのは 24 だけだが、巡回群ではないので不可。よって最大は 12。