代数学の問題

加法群では、元 $a$ の位数は $ma=0$ となる最小の正の整数 $m$ です。巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元 $\overline{k}$ の位数は、次の公式で求められます。
$$\mathrm{ord}(\overline{k})=\frac{n}{\gcd (k,n)}$$

手順1：最大公約数を求める。
$36=2^2\cdot 3^2$、$27=3^3$ なので、$\gcd (27,36)=3^2=9$ です。

手順2：公式に代入する。
$$\mathrm{ord}(\overline{27})=\frac{36}{9}=4$$

確認： $m\cdot 27\equiv 0(\mathrm{mod}36)$ となる最小の正の整数 $m$ を直接調べます。
- $1\cdot 27=27\equiv 27$
- $2\cdot 27=54\equiv 18$
- $3\cdot 27=81\equiv 9$
- $4\cdot 27=108=3\cdot 36\equiv 0$

$m=1,2,3$ では $0$ にならず、$m=4$ で初めて $0$ になります。よって位数は $4$ です。

なお、$4$ は群の位数 $36$ を割り切っており、ラグランジュの定理とも矛盾しません。

答え：$4$

$\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ における $\overline{a}$ の位数は $36/\gcd (a,36)$ である。$\gcd (27,36)=9$ なので位数は $36/9=4$。
検算：$4\cdot 27=108=3\cdot 36$ より $4\cdot \overline{27}=\overline{0}$。$k=1,2,3$ では $27,54,81$ がいずれも $36$ の倍数でない（$27\equiv 27$, $54\equiv 18$, $81\equiv 9$ mod 36）ので、最小の正の整数は $4$。