代数学の問題

手順 1：それぞれの元の次数を求める。

$\sqrt[3]{5}$ は $x^3-5$ の根です。素数 $5$ について、最高次以外の係数 $0,0,-5$ はすべて $5$ で割り切れます。また、最高次の係数 $1$ は $5$ で割り切れず、定数項 $-5$ は $25$ で割り切れません。よってアイゼンシュタインの判定法から $x^3-5$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、$\sqrt[3]{5}$ の最小多項式になります。したがって
$$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}]=3$$
です。

同様に $\sqrt[4]{2}$ は $x^4-2$ の根で、素数 $2$ についてアイゼンシュタインの判定法が使えるので、$x^4-2$ は既約です。よって
$$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}]=4$$
です。

手順 2：次数の積の公式で $[L:\mathbb{Q}]$ を $3$ と $4$ の倍数と分かる。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ とおくと $\mathbb{Q}\subset K\subset L$ なので、
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:K][K:\mathbb{Q}]=3[L:K]$$
となり、$[L:\mathbb{Q}]$ は $3$ の倍数です。

同じく $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})\subset L$ を使うと $[L:\mathbb{Q}]=4[L:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})]$ となり、$[L:\mathbb{Q}]$ は $4$ の倍数でもあります。

$3$ と $4$ は互いに素なので、$[L:\mathbb{Q}]$ は $12$ の倍数です。

手順 3：上から $12$ で押さえる。

$L=K(\sqrt[4]{2})$ であり、$\sqrt[4]{2}$ は $K$ 係数の $4$ 次式 $x^4-2$ の根です。$K$ 上の最小多項式は $x^4-2$ を割り切るので、その次数は $4$ 以下です。よって $[L:K]\le 4$ となり、
$$[L:\mathbb{Q}]=3[L:K]\le 12$$
が成り立ちます。

結論

$[L:\mathbb{Q}]$ は $12$ の倍数で、しかも $12$ 以下なので
$$[L:\mathbb{Q}]=12$$
です。

$a=\sqrt[3]{5}$, $b=\sqrt[4]{2}$ とおく。$[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=3$（$x^3-5$ はアイゼンシュタインの判定法により既約）。$[\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}]=4$（$x^4-2$ はアイゼンシュタインの判定法により既約）。

$L=\mathbb{Q}(a,b)$ は $\mathbb{Q}(a)$ と $\mathbb{Q}(b)$ を含むので、$[L:\mathbb{Q}]$ は 3 の倍数かつ 4 の倍数であり、12 の倍数である。

一方、$L=\mathbb{Q}(a)(b)$ で、$b$ は $\mathbb{Q}$ 上の次数 4 の多項式 $x^4-2$ の根なので $[L:\mathbb{Q}(a)]\le 4$ である。よって $[L:\mathbb{Q}]\le 3\cdot 4=12$ となる。

以上より $[L:\mathbb{Q}]=12$。

検算: $\gcd (3,4)=1$ なので、互いに素な次数をもつ 2 つの拡大の合成体の次数は積になる。したがって 12 で一致する。