場合の数と確率の問題

$1$ から $150$ までの整数全体を全体集合とし、その部分集合を次のように定めます。

• $A$：$3$ で割り切れる数の集合
• $B$：$5$ で割り切れる数の集合
• $C$：$7$ で割り切れる数の集合

求める個数は $n(A\cup B\cup C)$ です。包除原理より
$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$
が成り立つので、右辺の各項を順に求めます。

1つの集合の要素の個数

$150÷3=50$ より $n(A)=50$ です。

$150÷5=30$ より $n(B)=30$ です。

$150÷7=21$ 余り $3$ より $n(C)=21$ です。

2つの集合の共通部分の要素の個数

$3$, $5$, $7$ はどの $2$ つも互いに素です。そのため、たとえば「$3$ でも $5$ でも割り切れる」ことは「$15$ で割り切れる」ことと同じです。

$A\cap B$ は $15$ の倍数の集合です。$150÷15=10$ より $n(A\cap B)=10$ です。

$B\cap C$ は $35$ の倍数の集合です。$150÷35=4$ 余り $10$ より $n(B\cap C)=4$ です。

$C\cap A$ は $21$ の倍数の集合です。$150÷21=7$ 余り $3$ より $n(C\cap A)=7$ です。

3つの集合の共通部分の要素の個数

$A\cap B\cap C$ は $105$ の倍数の集合です。$150÷105=1$ 余り $45$ より $n(A\cap B\cap C)=1$ です。

包除原理に代入
$$n(A\cup B\cup C)=(50+30+21)-(10+4+7)+1=101-21+1=81$$

よって、求める個数は $81$ 個です。

$1$ から $150$ までの整数のうち、$3$ の倍数の集合を $A$、$5$ の倍数の集合を $B$、$7$ の倍数の集合を $C$ とし、包除原理で数える。

各集合の個数は次のとおり。
$|A|=\lfloor 150/3\rfloor =50$, $|B|=30$, $|C|=\lfloor 150/7\rfloor =21$ ($7\times 21=147$)。

2 つの共通部分の個数は次のとおり。
$|A\cap B|=\lfloor 150/15\rfloor =10$, $|A\cap C|=\lfloor 150/21\rfloor =7$ ($21\times 7=147$), $|B\cap C|=\lfloor 150/35\rfloor =4$ ($35\times 4=140$)。

3 つの共通部分の個数は次のとおり。
$|A\cap B\cap C|=\lfloor 150/105\rfloor =1$。

よって、求める個数は
$50+30+21-10-7-4+1=91$。

検算として、どれでも割り切れない個数を数える。
$150-91=59$ 個となるはずである。
$150\times (2/3)(4/5)(6/7)=150\times 48/105\approx 68.6$ であり、これは概算である。
周期 $105$ では、割り切れないものは $48$ 個ある。
$1$ から $105$ までで割り切れるものは $57$ 個である。
$106$ から $150$ までの $45$ 個は、$1$ から $45$ までと同じ余りの並びになる。
$1$ から $45$ までで割り切れるものを数える。
$3$ の倍数は $15$ 個、$5$ の倍数は $9$ 個、$7$ の倍数は $6$ 個、
$15$ の倍数は $3$ 個、$21$ の倍数は $2$ 個、$35$ の倍数は $1$ 個、$105$ の倍数は $0$ 個である。
よって $15+9+6-3-2-1+0=24$ 個。
合計は $57+24=81$ 個となり、$91$ と合わない。確認し直す。
$1$ から $105$ までで割り切れるものは、$105-48=57$ 個ではなく $105-48=57$ である。
$1$ から $105$ までを包除原理で数えると、$35+21+15-7-5-3+1=57$ で一致する。
$106$ から $150$ までは、$1$ から $45$ までと同じ並びで割り切れる。これは $105$ が $3,5,7$ のすべての倍数であるためである。
したがって $57+24=81$ となる。
一方、最初の計算を見直すと、$|A|=50$, $|B|=30$, $|C|=21$ の合計は $101$ である。
$101-21+1=81$ である。最初の $91$ は引き算の誤りで、$10+7+4=21$ を引くので $101-21=80$、$+1$ で $81$ が正しい。

以上より、答えは $81$。