場合の数と確率の問題

$x,y,z$ は正の奇数なので、0 以上の整数 $a,b,c$ を用いて
$$x=2a+1,y=2b+1,z=2c+1$$
と表せます。逆に、0 以上の整数 $a,b,c$ を 1 組選ぶと、正の奇数の組 $(x,y,z)$ がちょうど 1 組決まります。つまり、この 2 種類の組は 1 対 1 に対応しています。

これを方程式に代入すると
$$(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=15$$
$$2(a+b+c)+3=15$$
$$a+b+c=6$$
となります。

したがって、求める組の個数は、$a+b+c=6$ を満たす 0 以上の整数の組 $(a,b,c)$ の個数に等しくなります。

これは 3 種類のものから重複を許して 6 個取る重複組合せの数です。6 個の「○」と 2 本の仕切り「｜」の並べ方として数えると
$${}_3{\mathrm{H}}_6={}_{6+2}{\mathrm{C}}_2={}_8{\mathrm{C}}_2=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=28$$
です。

よって、求める組は $28$ 組です。

$x=2a+1,y=2b+1,z=2c+1$ ($a,b,c$ は 0 以上の整数) とおく。すると $x+y+z=2(a+b+c)+3=15$ より $a+b+c=6$。

0 以上の整数解の個数は重複組合せで ${}_3{H}_6={}_8{C}_6={}_8{C}_2=28$ 組。

検算：$a=0$ のとき $b+c=6$ で 7 組、$a=1$ で 6 組、$a=2$ で 5 組、$a=3$ で 4 組、$a=4$ で 3 組、$a=5$ で 2 組、$a=6$ で 1 組。合計 $7+6+5+4+3+2+1=28$。

よって 28 組。