場合の数と確率の問題

$1$ から $210$ までの整数全体の集合を $U$ とします。そのうち、$3$ の倍数の集合を $A$、$5$ の倍数の集合を $B$、$7$ の倍数の集合を $C$ とします。

「$3$ でも $5$ でも $7$ でも割り切れない」数の集合は $\overline{A\cup B\cup C}$ です。そこで、まず「少なくとも $1$ つで割り切れる」数の個数 $n(A\cup B\cup C)$ を包除原理で求め、それを全体から引きます。

手順1：それぞれの集合の要素の個数

$n(A)=210÷3=70$、$n(B)=210÷5=42$、$n(C)=210÷7=30$

手順2：2 つずつの共通部分の要素の個数

$3$ と $5$ でともに割り切れる数は $15$ の倍数なので、$n(A\cap B)=210÷15=14$ です。

同じように、$n(B\cap C)=210÷35=6$、$n(C\cap A)=210÷21=10$ です。

手順3：3 つの共通部分の要素の個数

$3$, $5$, $7$ のすべてで割り切れる数は $105$ の倍数なので、$n(A\cap B\cap C)=210÷105=2$ です。

手順4：包除原理

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$

に手順1〜3の値を代入すると

$$n(A\cup B\cup C)=70+42+30-14-6-10+2=114$$

となります。

手順5：補集合の要素の個数

$$n(\overline{A\cup B\cup C})=n(U)-n(A\cup B\cup C)=210-114=96$$

よって、求める個数は $96$ 個です。

$1$ から $210$ までの整数の集合を全体とし、$3$, $5$, $7$ の倍数の集合をそれぞれ $A,B,C$ とする。包除原理を用いる。

$|A|=210/3=70$、$|B|=210/5=42$、$|C|=210/7=30$
$|A\cap B|=210/15=14$、$|A\cap C|=210/21=10$、$|B\cap C|=210/35=6$
$|A\cap B\cap C|=210/105=2$

$|A\cup B\cup C|=70+42+30-14-10-6+2=114$

よって求める個数は $210-114=96$。

検算: $210=3\cdot 5\cdot 7\cdot 2$ なので、$210\cdot (1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)=210\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}=96$。これは一致する。