場合の数と確率の問題

$1$ から $150$ までの整数全体を全体集合 $U$ とし、その部分集合を次のように定めます。

• $A$：$3$ で割り切れる数（$3$ の倍数）の集合
• $B$：$5$ で割り切れる数（$5$ の倍数）の集合
• $C$：$7$ で割り切れる数（$7$ の倍数）の集合

求める個数は $n(A\cup B\cup C)$ です。$3$ つの集合の和集合の要素の個数は、包除原理
$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$
で求められます。

手順1：各集合の個数

$150=3\times 50$ より $n(A)=50$

$150=5\times 30$ より $n(B)=30$

$150=7\times 21+3$ より $n(C)=21$

手順2：2つずつの共通部分の個数

$3$, $5$, $7$ はどの $2$ つも互いに素なので、両方で割り切れる数は積の倍数です。

$A\cap B$ は $15$ の倍数：$150=15\times 10$ より $n(A\cap B)=10$

$B\cap C$ は $35$ の倍数：$150=35\times 4+10$ より $n(B\cap C)=4$

$C\cap A$ は $21$ の倍数：$150=21\times 7+3$ より $n(C\cap A)=7$

手順3：3つの共通部分の個数

$A\cap B\cap C$ は $105$ の倍数：$150=105\times 1+45$ より $n(A\cap B\cap C)=1$

手順4：包除原理に代入
$$n(A\cup B\cup C)=50+30+21-10-4-7+1=81$$

よって、求める個数は $81$ 個です。

$A$、$B$、$C$ をそれぞれ 1 から 150 までの整数のうち 3、5、7 の倍数の集合とする。
$|A|=\lfloor 150/3\rfloor =50$、$|B|=\lfloor 150/5\rfloor =30$、$|C|=\lfloor 150/7\rfloor =21$。
$|A\cap B|=\lfloor 150/15\rfloor =10$、$|A\cap C|=\lfloor 150/21\rfloor =7$、$|B\cap C|=\lfloor 150/35\rfloor =4$。
$|A\cap B\cap C|=\lfloor 150/105\rfloor =1$。
包除原理より $|A\cup B\cup C|=50+30+21-10-7-4+1=81$。
検算として、余事象を数える。3、5、7 のどれでも割り切れない数は $150\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}=68.57\dots$ で、約 69 個となる。$150-81=69$ なので整合する。