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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

大小 $2$ 個のさいころを同時に投げる。出た目の和が $5$ または $10$ になる場合は何通りあるか。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

和の法則を使います。「和が $5$ になる場合」と「和が $10$ になる場合」に分けて、それぞれを表や書き出しで数えましょう。

ヒント 2

2 つの場合は同時には起こらないので、それぞれの場合の数をたせば答えになります。大小のさいころは区別するので、 $(1, 4)$ と $(4, 1)$ は別の場合です。

ヒント 3

和が $5$ になるのは $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ の $4$ 通りです。次に和が $10$ になる場合を数えましょう。

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7

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解説を読む

大きいさいころの目を $a$ 、小さいさいころの目を $b$ とし、目の出方を組 $(a, b)$ で表す。大小のさいころは区別するので、 $(1, 4)$ と $(4, 1)$ は異なる場合として数える。

手順 1：和が $5$ になる場合を表で数える

$a + b = 5$ となる組を、 $a$ を小さい順に調べると
$(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
の $4$ 通りである（ $a = 5, 6$ のときは $b \leq 0$ となり不適）。

手順 2：和が $10$ になる場合を表で数える

$a + b = 10$ となる組を、 $a$ を小さい順に調べると
$(4, 6), (5, 5), (6, 4)$
の $3$ 通りである（ $a \leq 3$ のときは $b \geq 7$ となり不適）。

手順 3：和の法則を使う

「和が $5$ になる」ことと「和が $10$ になる」ことは同時には起こらない。同時に起こらない $2$ つの事柄の場合の数は、たし合わせればよい（和の法則）。よって求める場合の数は
$4 + 3 = 7 (通り)$

別解

大小2個のさいころを区別して、出た目の組 $(大, 小)$ を数える。

和が $5$ になる組は $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ の $4$ 通り。
和が $10$ になる組は $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ の $3$ 通り。

和が $5$ と和が $10$ は同時に起こらないので、和の法則より $4 + 3 = 7$ 通り。

検算：全 $36$ 通りのうち、和が $5$ になる確率は $4/36$ 、和が $10$ になる確率は $3/36$ で、合わせて $7/36$ 。これは上の数え上げと一致する。