場合の数と確率の問題

頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}$ を位置 $0,1,2,3,4$ で表す。$k$ だけ進むと位置は $5$ で割った余りで決まる。

さいころの目 $1,2,3,4,5,6$ を $5$ で割った余りは $1,2,3,4,0,1$ なので、1 回の操作で進む量（$5$ で割った余り）$r$ の確率 $w(r)$ は
$$w(0)=\frac{1}{6},w(1)=\frac{2}{6},w(2)=w(3)=w(4)=\frac{1}{6}$$
である。

以下、$k$ 回投げた後に「まだ終了しておらず、位置 $q$ にいる」確率を $6^k$ 倍した値を $v_k(q)$ $(q=1,2,3,4)$ とする。また $6w(r)$ を重みとして、$\overline{w}(0)=1,\overline{w}(1)=2,\overline{w}(2)=\overline{w}(3)=\overline{w}(4)=1$ とおく。$v_{k+1}(q)=\sum _{p=1}^4{v}_k(p)\overline{w}(q-p)$（$q-p$ は $5$ で割った余り）である。

1 回目 位置 $0$ から出発するので $v_1(q)=\overline{w}(q)$。
$$v_1=(2,1,1,1)(\text{合計 }5)$$

2 回目
- $q=1$: $2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=5$
- $q=2$: $2\cdot 2+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=7$
- $q=3$: $2\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 1+1\cdot 1=6$
- $q=4$: $2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 1=6$

$v_2=(5,7,6,6)$、合計 $24$。（確認: $A$ に止まる重みは $2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 2=6$ で、$5\cdot 6-6=24$。）

3 回目
- $q=1$: $5\cdot 1+7\cdot 1+6\cdot 1+6\cdot 1=24$
- $q=2$: $5\cdot 2+7\cdot 1+6\cdot 1+6\cdot 1=29$
- $q=3$: $5\cdot 1+7\cdot 2+6\cdot 1+6\cdot 1=31$
- $q=4$: $5\cdot 1+7\cdot 1+6\cdot 2+6\cdot 1=30$

合計 $114$。（確認: $A$ に止まる重みは $5\cdot 1+7\cdot 1+6\cdot 1+6\cdot 2=30$ で、$24\cdot 6-30=114$。）

したがって、投げる回数を $T$ とすると
$$P(T=1)=\frac{1}{6}=\frac{36}{216},P(T=2)=\frac{6}{36}=\frac{36}{216},P(T=3)=\frac{30}{216},$$
$T=4$ となるのは 3 回目までに終了しない場合なので
$$P(T=4)=\frac{114}{216}.$$
（和は $\frac{36+36+30+114}{216}=1$ で確かに成り立つ。）

よって期待値は
$$1\cdot \frac{36}{216}+2\cdot \frac{36}{216}+3\cdot \frac{30}{216}+4\cdot \frac{114}{216}=\frac{36+72+90+456}{216}=\frac{654}{216}=\frac{109}{36}.$$

さいころの目を 5 で割った余りで考える。頂点 A を位置 0 とすると、1 回の移動量 $d$ (mod 5) の確率は、$d=0$ (目5) が $\frac{1}{6}$、$d=1$ (目1,6) が $\frac{2}{6}$、$d=2,3,4$ が各 $\frac{1}{6}$ である。

投げる回数を $X$ とすると、$X={\sum }_{k=0}^{3}P(X>k)$ である。$P(X>0)=1$ である。

・1 回後: 位置 0 になる確率は $\frac{1}{6}$ なので、続く確率は $P(X>1)=\frac{5}{6}$。位置 1,2,3,4 にいる確率は (6分の1単位で) $(2,1,1,1)$。

・2 回後: 位置 $j\ne 0$ にいる確率 (36分の1単位) を計算すると、
$j=1$: $2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=5$
$j=2$: $2\cdot 2+1+1+1=7$
$j=3$: $2\cdot 1+1\cdot 2+1+1=6$
$j=4$: $2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 2+1=6$
合計 $24/36=\frac{2}{3}$。よって $P(X>2)=\frac{2}{3}$ (検算: 位置 $i$ から 0 に戻る確率は $i=1,2,3$ で $\frac{1}{6}$、$i=4$ で $\frac{2}{6}$ なので $\frac{2+1+1+2}{36}=\frac{1}{6}$、$\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ で一致)。

・3 回後: 2 回後の分布 $(5,7,6,6)/36$ から 0 に止まる確率は $\frac{5\cdot 1+7\cdot 1+6\cdot 1+6\cdot 2}{216}=\frac{30}{216}$。よって $P(X>3)=\frac{144-30}{216}=\frac{19}{36}$。

4 回目を投げたら必ず終了するので、4 回投げる場合まで含めて数え上げは $k\le 3$ までで足りる。

$E=1+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}+\frac{19}{36}=\frac{36+30+24+19}{36}=\frac{109}{36}$