場合の数と確率の問題

手順 1：起こりうる場合と確率を求める

2 枚の硬貨を区別して考えると、表裏の出方は $2^2=4$ 通りで、どれも同様に確からしい。

• 2 枚とも表：(表, 表) の 1 通りなので、確率 $\frac{1}{4}$
• 1 枚だけ表：(表, 裏), (裏, 表) の 2 通りなので、確率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
• 2 枚とも裏：(裏, 裏) の 1 通りなので、確率 $\frac{1}{4}$

手順 2：損得の額ととりうる値の表を作る

損得の額は「賞金 $-100$ 円」なので、

• 2 枚とも表：$300-100=200$ 円
• 1 枚だけ表：$100-100=0$ 円
• 2 枚とも裏：$0-100=-100$ 円

表にまとめると次のようになる。

$$\begin{array}{ccccc}\text{損得の額（円）}& 200& 0& -100& \text{計}\\ \text{確率}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& 1\end{array}$$

確率の合計が $1$ になっていることも確かめておく。

手順 3：（値）×（確率）の和を計算する

期待値は、とりうる値とその確率の積をすべて足したものである。

$$200\times \frac{1}{4}+0\times \frac{1}{2}+(-100)\times \frac{1}{4}=50+0-25=25$$

よって、損得の額の期待値は $25$ 円である。

期待値が正なので、このゲームは平均すると 1 回あたり $25$ 円得をするといえる。（なお、賞金の期待値 $300\times \frac{1}{4}+100\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{4}=125$ 円から参加料 $100$ 円を引いても同じ $25$ 円になる。）

2 枚の硬貨の表裏の出方は全部で $4$ 通りで、同様に確からしい。

• 2 枚とも表：確率 $\frac{1}{4}$、賞金 $300$ 円、損得 $+200$ 円
• 1 枚だけ表：確率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、賞金 $100$ 円、損得 $0$ 円
• 2 枚とも裏：確率 $\frac{1}{4}$、賞金 $0$ 円、損得 $-100$ 円

期待値は $200\cdot \frac{1}{4}+0\cdot \frac{1}{2}+(-100)\cdot \frac{1}{4}=50-25=25$ 円。

検算：賞金の期待値は $300\cdot \frac{1}{4}+100\cdot \frac{1}{2}+0=75+50=125$ 円。これから参加料 $100$ 円を引くと $25$ 円となり、一致する。