場合の数と確率の問題

方針 損得の金額のとりうる値と、それぞれの確率を表にまとめる。そのうえで「(値)×(確率)」の和を計算すれば期待値が求まる。

手順1：確率を求める
$3$ 枚の硬貨の表裏の出方は、全部で $2^3=8$ 通りある。どれも同様に確からしい。
- 表が $3$ 枚になる出方は $1$ 通りなので、確率は $\frac{1}{8}$
- 表が $2$ 枚になる出方は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りなので、確率は $\frac{3}{8}$
- 表が $1$ 枚以下になる確率は $1-\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}$

手順2：損得の金額を求める
損得の金額は (賞金)$-200$ である。
- 表が $3$ 枚のとき：$800-200=600$ 円
- 表が $2$ 枚のとき：$200-200=0$ 円
- 表が $1$ 枚以下のとき：$0-200=-200$ 円

手順3：表にまとめる
$$\begin{array}{ccccc}\text{損得の金額}& 600& 0& -200& \text{計}\\ \text{確率}& \frac{1}{8}& \frac{3}{8}& \frac{4}{8}& 1\end{array}$$

手順4：期待値を計算する
$$600\times \frac{1}{8}+0\times \frac{3}{8}+(-200)\times \frac{4}{8}=\frac{600+0-800}{8}=\frac{-200}{8}=-25$$

したがって、損得の金額の期待値は $-25$ 円である。期待値が負なので、このゲームは平均すると $1$ 回あたり $25$ 円の損になり、参加者にとって不利だと判断できる。

（参考：賞金の期待値は $800\times \frac{1}{8}+200\times \frac{3}{8}=175$ 円である。ここから参加費を引いても $175-200=-25$ 円となり、同じ結果が得られる。）

硬貨は公正（表裏が等確率）で、3枚は独立とする。表の枚数が3枚の確率は $\frac{1}{8}$、2枚の確率は $\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{8}=\frac{3}{8}$、1枚以下の確率は $\frac{4}{8}$。
賞金の期待値は $800\cdot \frac{1}{8}+200\cdot \frac{3}{8}+0\cdot \frac{4}{8}=100+75=175$ 円。
損得の金額の期待値は $175-200=-25$ 円。
検算：損得の値は、表3枚のとき $+600$、2枚のとき $0$、1枚以下のとき $-200$。期待値は $600\cdot \frac{1}{8}+0-200\cdot \frac{4}{8}=75-100=-25$ となり一致する。