場合の数と確率の問題

「$A$ がはずれる」という事象を $E$、「$B$ が当たる」という事象を $F$ とします。求める確率は $P(E\cap F)$ です。

$A$ と $B$ は順にくじを引くので、乗法定理
$$P(E\cap F)=P(E)P_E(F)$$
を使います。

手順 1：$P(E)$ を求める。
$12$ 本のうちはずれくじは $12-4=8$ 本なので
$$P(E)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

手順 2：$P_E(F)$ を求める。
$A$ がはずれくじを $1$ 本引いたあとなので、残りのくじは $11$ 本です。当たりくじは減っておらず $4$ 本のままです。よって
$$P_E(F)=\frac{4}{11}$$

手順 3：掛け合わせる。
$$P(E\cap F)=\frac{2}{3}\times \frac{4}{11}=\frac{8}{33}$$

（確認）引き方を順列で数えると、全体は ${}_{12}{\mathrm{P}}_2=132$ 通り、$A$ がはずれで $B$ が当たりとなるのは $8\times 4=32$ 通りなので、$\frac{32}{132}=\frac{8}{33}$ となり一致します。

答え：$\frac{8}{33}$

くじは全部で12本、当たりは4本、はずれは8本である。
$A$ がはずれを引く確率は $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
そのとき残りは11本で、当たりは4本のままなので、$B$ が当たりを引く確率は $\frac{4}{11}$。
よって求める確率は $\frac{2}{3}\times \frac{4}{11}=\frac{8}{33}$。
検算: 順列で数えると、$A$ がはずれ、$B$ が当たりとなる引き方は $8\times 4=32$ 通り、全体は $12\times 11=132$ 通り。$\frac{32}{132}=\frac{8}{33}$ となり一致する。