場合の数と確率の問題

a が当たりくじを引く事象を $A$、b が当たりくじを引く事象を $B$ とします。求める確率は $P(A\cap B)$ です。

手順 1：はじめに起こる事象の確率 $P(A)$ を求める

a が引くとき、くじは $10$ 本で、そのうち当たりは $3$ 本です。どのくじを引くことも同様に確からしいので
$$P(A)=\frac{3}{10}$$

手順 2：条件付き確率 $P_A(B)$ を求める

$P_A(B)$ は「a が当たりを引いたという条件のもとで、b が当たりを引く確率」です。a が当たりを引いてそのくじを戻さないので、残りのくじは $9$ 本、そのうち当たりは $3-1=2$ 本です。よって
$$P_A(B)=\frac{2}{9}$$

手順 3：乗法定理を使う

乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ より
$$P(A\cap B)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$$

（確認）引く順番を区別して数えると、くじの引き方は全部で $10\times 9=90$ 通り、2 人とも当たる引き方は $3\times 2=6$ 通りなので、確率は $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$ となり一致します。

したがって、求める確率は $\frac{1}{15}$ です。

a が当たる確率は $\frac{3}{10}$。a が当たったとき、残り 9 本の中に当たりくじは 2 本なので、b が当たる確率は $\frac{2}{9}$。よって求める確率は $\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$。
検算：順列で考えると、2 人の引き方は ${}_{10}{\mathrm{P}}_2=90$ 通り、ともに当たる引き方は ${}_3{\mathrm{P}}_2=6$ 通りなので $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$。一致する。