集合と位相の問題

平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d_1(p,q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
で定まる距離 $d_1$ を入れた距離空間 $({\mathbb{R}}^2,d_1)$ を考える。部分集合
$$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$$
の $d_1$ に関する直径
$$\mathrm{diam}(S)=\sup \{d_1(p,q)\mid p,q\in S\}$$
を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid (x^2-1)(y^2-1)>0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ のユークリッドノルムを $\Vert \cdot \Vert$ とし、${\mathbb{Z}}^2$ を整数を成分とする点全体の集合とする。トーラス $T={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ と自然な射影 $\pi :{\mathbb{R}}^2\to T$ を考え、$T$ に距離
$$d(\pi (p),\pi (q))=\underset{m\in {\mathbb{Z}}^2}{\min }\Vert p-q-m\Vert (p,q\in {\mathbb{R}}^2)$$
を入れる（これは well-defined な距離である）。$T$ における開球
$$B=\left\{x\in T\left|d\right(x,\pi (0))<\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$$
を考える。$Q={\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}^2$ とするとき（$\pi$ を $Q$ に制限したものは全単射である）、集合 ${\pi }^{-1}(B)\cap Q$ の面積を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<9,(y-x^2+1)(y+x^2-1)\ne 0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|x^3-y^3\right|$$
で定めると、$d$ は $\mathbb{R}$ 上の距離になる。この距離 $d$ に関する開球
$$B(1,7)=\{x\in \mathbb{R}\mid d(x,1)<7\}$$
を区間で表せ。