数と式の問題

$f(x)=|x-a|+|2x-4|=|x-a|+2|x-2|$ とおく。

$f(x)$ の増減を調べる

$|x-a|$ は $x$ の 1 次式を区分的につないだもので、どの区間でも傾きは $1$ か $-1$ である。$2|x-2|$ の傾きは、$x<2$ では $-2$、$x>2$ では $2$ である。

したがって $f(x)$ の傾きは次のようになる。
- $x<2$ では $\pm 1-2<0$ なので、$f(x)$ は $x\le 2$ で減少する。
- $x>2$ では $\pm 1+2>0$ なので、$f(x)$ は $x\ge 2$ で増加する。

候補となる整数をしぼる

$f(0)=|a|+4\ge 4$ である。$f$ は $x\le 2$ で減少するから、整数 $n\le 0$ に対して $f(n)\ge f(0)\ge 4>3$ となる。

同様に $f(4)=|4-a|+4\ge 4$ である。$f$ は $x\ge 2$ で増加するから、整数 $n\ge 4$ に対して $f(n)\ge f(4)\ge 4>3$ となる。

よって、不等式を満たしうる整数は $1,2,3$ だけである。

それぞれの整数が解になる条件

• $x=1$: $f(1)=|1-a|+2<3⟺|a-1|<1⟺0<a<2$
• $x=2$: $f(2)=|2-a|<3⟺-1<a<5$
• $x=3$: $f(3)=|3-a|+2<3⟺|a-3|<1⟺2<a<4$

ちょうど 2 個になる条件

$x=1$ と $x=3$ が同時に解になることはない。$0<a<2$ と $2<a<4$ に共通部分がないからである。

したがって、解となる整数がちょうど 2 個になるのは次の 2 つの場合に限られる。
- $\{1,2\}$ のとき: $0<a<2$ かつ $-1<a<5$ より $0<a<2$
- $\{2,3\}$ のとき: $2<a<4$ かつ $-1<a<5$ より $2<a<4$

確認
- $a=2$ のとき、$f(x)=3|x-2|<3$ より $1<x<3$ となり、整数は $x=2$ の 1 個だけである。
- $a=0$ のとき、$f(1)=3$ となり $x=1$ は解にならない。
- $a=4$ のとき、$f(3)=3$ となり $x=3$ は解にならない。

いずれも条件を満たさず、上の結果と合う。

以上より、求める範囲は
$$0<a<2,2<a<4$$

整数 $n$ に対して $f(n)=|n-a|+2|n-2|$ とおき、$f(n)<3$ となる整数 $n$ を調べる。

$n\le 0$ のとき $2|n-2|\ge 4>3$ となり不適。$n\ge 4$ のとき $2|n-2|\ge 4>3$ となり不適。よって候補は $n=1,2,3$ だけである。

• $n=1$: $|1-a|+2<3$ より $|1-a|<1$ なので $0<a<2$
• $n=2$: $|2-a|<3$ より $-1<a<5$
• $n=3$: $|3-a|+2<3$ より $|3-a|<1$ なので $2<a<4$

$n=1$ と $n=3$ の条件は共通部分をもたないので、同時には成り立たない。したがって、ちょうど 2 個になるのは次の 2 通りである。

(i) $\{1,2\}$ のとき: $0<a<2$ かつ $-1<a<5$ より $0<a<2$。このとき $n=3$ は成り立たない。

(ii) $\{2,3\}$ のとき: $2<a<4$ かつ $-1<a<5$ より $2<a<4$。このとき $n=1$ は成り立たない。

$a=2$ のときは $n=2$ だけが条件を満たし、1 個なので不適。

検算: $a=1$ のとき $f(1)=2$, $f(2)=1$, $f(3)=4$ なので、満たす整数は $1,2$ の 2 個である。$a=3$ のとき $f(1)=4$, $f(2)=1$, $f(3)=2$ なので、満たす整数は $2,3$ の 2 個である。$a=0$ のとき $f(1)=3$ で不等号が成り立たず、1 個のみ。$a=4$ のとき $f(3)=3$ で同様に 1 個のみ。端点は含まれない。

よって求める範囲は $0<a<4$ かつ $a\ne 2$、すなわち $0<a<2,2<a<4$ である。