数と式の問題

手順1：不等式を解く

$4x-a<x+2$ を移項すると $3x<a+2$ となる。両辺を正の数 $3$ で割るので、不等号の向きは変わらない。
$$x<\frac{a+2}{3}$$

手順2：数直線で、どの整数が含まれればよいかを決める

解は「$\frac{a+2}{3}$ より小さい数」全体である。数直線上でこの範囲に入る正の整数は、小さい順に $1,2,3,\dots$ と入っていく。

ちょうど $3$ 個となるのは、$1,2,3$ が含まれ、$4$ が含まれないときである。

手順3：端点を含むかどうかを調べて条件を式にする

• $3$ が解に含まれる条件は $3<\frac{a+2}{3}$ である。$\frac{a+2}{3}=3$ のときは解が $x<3$ となり、$3$ は含まれない。したがって等号は付けない。
• $4$ が解に含まれない条件は $\frac{a+2}{3}\leqq 4$ である。$\frac{a+2}{3}=4$ のときは解が $x<4$ となり、$4$ は含まれない。したがって等号を付ける。

よって
$$3<\frac{a+2}{3}\leqq 4$$

手順4：$a$ について解く

各辺に $3$ をかけると $9<a+2\leqq 12$ となる。各辺から $2$ を引いて
$$7<a\leqq 10$$

確かめ

• $a=10$ のとき、解は $x<4$ で、正の整数は $1,2,3$ の $3$ 個であり、条件に合う。
• $a=7$ のとき、解は $x<3$ で、正の整数は $1,2$ の $2$ 個であり、条件に合わない。

答えは $7<a\leqq 10$ である。

$4x-a<x+2$ より $3x<a+2$、すなわち $x<\frac{a+2}{3}$。
正の整数 $x$ がちょうど3個となるのは、$x=1,2,3$ が解で $x=4$ が解でないときである。
よって $3<\frac{a+2}{3}\le 4$。
各辺に3を掛けて $9<a+2\le 12$、したがって $7<a\le 10$。
検算：$a=10$ のとき $x<4$ で $x=1,2,3$ の3個。$a=7$ のとき $x<3$ で2個。$a=7.1$ のとき $x<3.03$ で3個。$a=10.1$ のとき $x<4.03$ で4個。よって正しい。