数と式の問題

第 1 式を解く

$$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-5}{3}>1$$
の両辺に $6$ を掛けると
$$3(x+1)-2(2x-5)>6$$
$$3x+3-4x+10>6$$
$$-x+13>6$$
$$-x>-7$$
よって $x<7$ である。

第 2 式を解く

$$5x+a\geqq 3x-1$$
$$2x\geqq -1-a$$
よって $x\geqq \frac{-1-a}{2}$ である。

連立不等式の解

連立不等式の解は
$$\frac{-1-a}{2}\leqq x<7$$
である。ただし $\frac{-1-a}{2}\geqq 7$ のときは解がない。

整数解がちょうど 3 個となる条件

$x<7$ を満たす整数を大きい方から並べると $6,5,4,3,\dots$ である。整数解がちょうど $3$ 個になるのは、整数解が $4,5,6$ のときである。そのためには、$4$ は解に含まれ、$3$ は解に含まれなければよい。したがって
$$3<\frac{-1-a}{2}\leqq 4$$
が条件である。

$a$ についての不等式を解く

各辺に $2$ を掛けると
$$6<-1-a\leqq 8$$
各辺に $1$ を加えると
$$7<-a\leqq 9$$
各辺に $-1$ を掛けると、不等号の向きが変わって
$$-9\leqq a<-7$$

端の確認

• $a=-9$ のとき、第 2 式は $x\geqq 4$ となる。整数解は $4,5,6$ の $3$ 個なので適する。
• $a=-7$ のとき、第 2 式は $x\geqq 3$ となる。整数解は $3,4,5,6$ の $4$ 個なので適さない。

以上より、求める範囲は $-9\leqq a<-7$ である。

第1式の両辺に $6$ をかけて $3(x+1)-2(2x-5)>6$。整理すると $-x+13>6$ より $x<7$。
第2式は $2x\geqq -1-a$ より $x\geqq \frac{-1-a}{2}$。
連立不等式の解は $\frac{-1-a}{2}\leqq x<7$。$x$ の整数の最大値は $6$ なので、整数解がちょうど $3$ 個になるのは整数解が $4,5,6$ のときである。
このための条件は $3<\frac{-1-a}{2}\leqq 4$。
各辺に $2$ をかけて $6<-1-a\leqq 8$、すなわち $7<-a\leqq 9$。よって $-9\leqq a<-7$。
検算：$a=-9$ のとき $x\geqq 4$ で整数解は $4,5,6$ の $3$ 個。$a=-7$ のとき $x\geqq 3$ で整数解は $3,4,5,6$ の $4$ 個となり不適。$a=-8$ のとき $x\geqq 3.5$ で整数解は $4,5,6$ の $3$ 個。