数と式の問題

第 1 式を解く。
両辺に $6$ を掛けると
$$2(2x+1)-3(x-2)>6$$
$$4x+2-3x+6>6$$
$$x+8>6$$
よって $x>-2$ である。

第 2 式を解く。
$4x-a\leqq x+2$ より $3x\leqq a+2$ である。よって
$$x\leqq \frac{a+2}{3}$$

連立不等式の解。
解が存在するためには $-2<\frac{a+2}{3}$ が必要である。このとき連立不等式の解は
$$-2<x\leqq \frac{a+2}{3}$$
となる。

整数解の個数の条件。
$x>-2$ を満たす整数を小さい順に並べると $-1,0,1,2,\dots$ である。整数解がちょうど $3$ 個、すなわち $-1,0,1$ だけになるための条件は、右端 $\frac{a+2}{3}$ が「$1$ 以上かつ $2$ 未満」であることである。
$$1\leqq \frac{a+2}{3}<2$$
各辺に $3$ を掛けて $3\leqq a+2<6$、各辺から $2$ を引いて
$$1\leqq a<4$$
この範囲では $\frac{a+2}{3}\geqq 1>-2$ なので、解が存在する条件も満たしている。

端点の確認。
- $a=1$ のとき、解は $-2<x\leqq 1$ で、整数解は $-1,0,1$ の $3$ 個である。条件を満たす。
- $a=4$ のとき、解は $-2<x\leqq 2$ で、整数解は $-1,0,1,2$ の $4$ 個である。条件を満たさない。

したがって、求める範囲は $1\leqq a<4$ である。

第1式の両辺に6をかけると $2(2x+1)-3(x-2)>6$ となる。整理すると $4x+2-3x+6>6$ より $x+8>6$、よって $x>-2$。
第2式は $3x\leqq a+2$ より $x\leqq \frac{a+2}{3}$。
連立不等式の解は $-2<x\leqq \frac{a+2}{3}$。
整数解がちょうど3個となるのは、整数解が $-1,0,1$ となるときである。
そのための条件は $1\leqq \frac{a+2}{3}<2$。
各辺に3をかけると $3\leqq a+2<6$、よって $1\leqq a<4$。
検算：$a=1$ のとき $x\leqq 1$ なので、整数解は $-1,0,1$ の3個で適する。$a=4$ のとき $x\leqq 2$ なので、整数解は4個となり不適。$a=3.9$ のとき $x\leqq 1.97$ なので、整数解は3個で適する。
答えは $1\leqq a<4$。