数と式の問題

不等式 $(1)$ を解く。
$$5x-7<2x+8$$
$$3x<15$$
$$x<5$$

不等式 $(2)$ を解く。 両辺に $12$ を掛けると
$$4(2x-a)\ge 3(x+a)$$
$$8x-4a\ge 3x+3a$$
$$5x\ge 7a$$
$$x\ge \frac{7a}{5}$$

よって、連立不等式の解は
$$\frac{7a}{5}\le x<5$$
である（$\frac{7a}{5}\ge 5$ のときは解がない）。

整数解がちょうど $3$ 個となる条件。 $x<5$ を満たす整数を大きい方から並べると $4,3,2,1,\dots$ である。整数解がちょうど $3$ 個になるのは、整数解が $2,3,4$ のときである。

このためには、$2$ が解に含まれ、$1$ が解に含まれなければよい。すなわち
$$1<\frac{7a}{5}\le 2$$
が条件である。

境界を確認する。
- $\frac{7a}{5}=2$ のとき、解は $2\le x<5$ である。$x=2$ を含むので、整数解は $2,3,4$ の $3$ 個となり適する。
- $\frac{7a}{5}=1$ のとき、解は $1\le x<5$ である。$x=1$ も含むので、整数解は $4$ 個となり不適である。

各辺に $\frac{5}{7}$ を掛けると
$$\frac{5}{7}<a\le \frac{10}{7}$$

答え: $\frac{5}{7}<a\le \frac{10}{7}$

(1) より $5x-7<2x+8$ なので $3x<15$、よって $x<5$。
(2) の両辺に $12$ をかけて $4(2x-a)\ge 3(x+a)$。整理すると $5x\ge 7a$ なので $x\ge \frac{7a}{5}$。
連立不等式の解は $\frac{7a}{5}\le x<5$。整数 $x$ の上限は $4$ である。
ちょうど $3$ 個になるのは整数解が $x=2,3,4$ のときで、条件は $1<\frac{7a}{5}\le 2$。
これを解くと $\frac{5}{7}<a\le \frac{10}{7}$。
検算：$a=\frac{10}{7}$ のとき $x\ge 2$ で整数解は $2,3,4$ の3個。$a=\frac{5}{7}$ のとき $x\ge 1$ で整数解は $1,2,3,4$ の4個となり不適なので、$\frac{5}{7}$ は含まない。