不等式を満たす整数の個数と定数の範囲

定数 $a$ を含む不等式の解を数直線に表し、解に含まれる整数がちょうど $k$ 個になるような $a$ の値の範囲を、端点を含むかどうかに注意して求められる

前提

連立不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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連立不等式（数学I 数と式）

説明

定数 $a$ を含む不等式では、 $a$ の値によって解の範囲が伸び縮みし、その中に入る整数の個数も変わります。この技能を使うと、「解に含まれる整数がちょうど $k$ 個」という条件を $a$ についての不等式に書き直し、 $a$ の範囲を求められます。連立不等式の問題で、片方の端は数で決まり、もう片方の端が $a$ で動く場面でよく使います。

なぜそうしてよいのか

たとえば解が $- 1 < x < p$ （ $p$ は $a$ で決まる数）の形になったとします。左端 $- 1$ は動かないので、そこから右へ $0, 1, 2, 3, \dots$ と順に整数が入っていきます。整数がちょうど $3$ 個（ $0, 1, 2$ ）になるのは、 $2$ は入り、 $3$ は入らないときです。つまり動く端 $p$ は、数直線上で「 $3$ 個目の整数 $2$ 」と「 $4$ 個目の整数 $3$ 」の間にあればよいことになります。動く端が左にある場合も同じ考え方です。解が $q < x \leq 3$ のように右端が固定されていれば、右端から左へ $3, 2, 1, \dots$ と数えます。なお、動く端が固定された端を越えてしまうと（たとえば $p \leq - 1$ のとき）共通部分がなく解なしで、整数は $0$ 個です。

難しいのは境目、つまり動く端がちょうど整数に重なるときです。ここは公式を覚えるのではなく、実際に動く端をその整数にして解を書き直し、整数を数えて確かめます。 $p = 2$ なら解は $- 1 < x < 2$ で、 $2$ は入らず整数は $0, 1$ の $2$ 個なのでだめです。 $p = 3$ なら解は $- 1 < x < 3$ で、 $3$ は入らず整数は $0, 1, 2$ の $3$ 個なのでよいです。よって $2 < p \leq 3$ です。

不等号が $<$ か $\leq$ かで、境目で整数が入るかどうかが変わります。そのため端点は毎回「等号のときを代入して数える」ことで決めるのが確実です。最後に動く端の範囲を $a$ の範囲に直せば答えになります。

手順

各不等式を解き、共通部分として解を表す。定数を含まない端（固定された端）と $a$ を含む端（動く端）に分ける。例: $- 1 < x < \frac{a}{2}$ 。動く端が固定された端を越える場合（例: $\frac{a}{2} \leq - 1$ ）は解なしで、整数は $0$ 個になる
数直線をかき、固定された端から動く端の方向へ、解に入る整数を $1$ 個目、 $2$ 個目、…と数える。固定された端が左なら右へ、右なら左へ数える。固定された端に等号がなければ、その端の整数は入らない
$k$ 個目の整数を $m$ 、 $k + 1$ 個目の整数を $m^{'}$ とする。ちょうど $k$ 個になるには $m$ は入り $m^{'}$ は入らないので、動く端は $m$ 以上かつ $m^{'}$ 以下の範囲（ $m$ と $m^{'}$ の間）にある。両端 $m$ , $m^{'}$ を含むかどうかは手順4で調べる
境目で等号が成り立つかどうかは、動く端を $m$ や $m^{'}$ にした場合の解を実際に書き、整数の個数を数えて決める
得られた動く端の範囲を $a$ についての不等式に直し、 $a$ の範囲を求める。負の数をかけたり割ったりするときは不等号の向きを変える

例題

$x$ についての連立不等式 ${x + 3 > 2 2 x < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $x + 3 > 2$ より $x > - 1$ 。 $2 x < a$ より $x < \frac{a}{2}$ 。連立不等式の解はこの $2$ つの共通部分なので、 $\frac{a}{2} > - 1$ のとき $- 1 < x < \frac{a}{2}$ と表されます。 $\frac{a}{2} \leq - 1$ のときは共通部分がなく解なしで、整数は $0$ 個なので条件を満たしません。以下、解が $- 1 < x < \frac{a}{2}$ の場合を考えます。固定された端は左の $- 1$ 、動く端は右の $\frac{a}{2}$ です。

【手順2】固定された端が左なので右へ数えます。 $- 1$ には等号がないので $- 1$ は入りません。 $1$ 個目は $0$ 、 $2$ 個目は $1$ 、 $3$ 個目は $2$ 、 $4$ 個目は $3$ です。

【手順3】 $k = 3$ で、 $m = 2$ 、 $m^{'} = 3$ です。 $2$ が入り $3$ が入らなければならないので、 $\frac{a}{2}$ は $2$ 以上 $3$ 以下の範囲にあります。

【手順4】境目を確かめます。 $\frac{a}{2} = 2$ のとき、解は $- 1 < x < 2$ で、整数は $0, 1$ の $2$ 個なので不適です。 $\frac{a}{2} = 3$ のとき、解は $- 1 < x < 3$ で、整数は $0, 1, 2$ の $3$ 個なので適します。したがって $2 < \frac{a}{2} \leq 3$ です（このとき $\frac{a}{2} > - 1$ も満たしています）。

【手順5】各辺を $2$ 倍すると $4 < a \leq 6$ となります。

答え: $4 < a \leq 6$

よくある誤り

境目を確かめずに $2 \leq \frac{a}{2} \leq 3$ などとしてしまう誤り。正しくは、 $\frac{a}{2} = 2$ のとき解は $- 1 < x < 2$ となって整数は $2$ 個しかないので、 $2 < \frac{a}{2} \leq 3$ です。
固定された端の整数を数に入れてしまう誤り。 $- 1 < x$ のとき $- 1$ は解に含まれないので、整数を $- 1, 0, 1$ と数えるのは誤りです。正しくは $0, 1, 2$ の $3$ 個を数えます。
動く端の範囲をそのまま答えにしてしまう誤り。 $2 < \frac{a}{2} \leq 3$ は $a$ の範囲ではありません。正しくは $2$ 倍して $4 < a \leq 6$ とします。
$a$ を含む不等式の不等号の向きを誤る誤り。たとえば $- 2 x < a$ を $x < - \frac{a}{2}$ としてしまうのは誤りです。負の数で割ると向きが変わるので、正しくは $x > - \frac{a}{2}$ です。このとき動く端は左側になるので、たとえばもう一方が $x < 3$ なら、固定された右端 $3$ から左へ $2, 1, 0, \dots$ と数えます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

文字を含む2次不等式と連立不等式（数学I 2次関数）