数と式の問題

手順 1：不等式を解く

$3x-a<x+1$ の $x$ を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に移項すると
$$2x<a+1$$
両辺を正の数 $2$ で割るので、不等号の向きは変わらない。
$$x<\frac{a+1}{2}$$

手順 2：数直線で考える

解は「$\frac{a+1}{2}$ より小さい実数全体」である。このうち正の整数は $1,2,3,\dots$ と小さい方から順に含まれていく。正の整数がちょうど $3$ 個になるのは、含まれるものが $1,2,3$ であり、$4$ は含まれないときである。

したがって、右端 $\frac{a+1}{2}$ は $3$ より大きく、$4$ 以下でなければならない。

手順 3：端点を含むかどうかを確かめる

• $\frac{a+1}{2}=3$ のとき、解は $x<3$ となり、$3$ は含まれない。正の整数は $1,2$ の $2$ 個なので不適である。よって $\frac{a+1}{2}=3$ は含めない。
• $\frac{a+1}{2}=4$ のとき、解は $x<4$ となり、$4$ は含まれない。正の整数は $1,2,3$ の $3$ 個なので適する。よって $\frac{a+1}{2}=4$ は含める。

以上から
$$3<\frac{a+1}{2}\leqq 4$$

手順 4：$a$ について解く

各辺に $2$ をかけると
$$6<a+1\leqq 8$$
各辺から $1$ を引くと
$$5<a\leqq 7$$

答えは $5<a\leqq 7$ である。

不等式 $3x-a<x+1$ を整理すると $2x<a+1$、すなわち $x<\frac{a+1}{2}$。
正の整数 $x$ がちょうど3個となるのは、その解が $x=1,2,3$ のときである。そのための条件は $3<\frac{a+1}{2}\le 4$。
各辺に2を掛けて $6<a+1\le 8$、よって $5<a\le 7$。

検算：$a=7$ のとき $x<4$ で、正の整数解は $1,2,3$ の3個。$a=5$ のとき $x<3$ で、解は $1,2$ の2個。$a=7.1$ のとき $x<4.05$ で、解は $1,2,3,4$ の4個。したがって範囲は $5<a\le 7$ で正しい。