数と式の問題

手順1：それぞれの不等式を解く

$(1)$ を解く。
$$3x+2\leqq 2x+6$$
$$3x-2x\leqq 6-2$$
$$x\leqq 4$$

$(2)$ の両辺を正の数 $2$ で割る。不等号の向きは変わらないから
$$x>\frac{a}{2}$$

手順2：共通部分をとる

連立不等式の解は $(1)$ と $(2)$ の共通部分である。連立不等式を満たす $x$ が存在するには $\frac{a}{2}<4$ でなければならず、このとき解は
$$\frac{a}{2}<x\leqq 4$$
となる。

手順3：数直線で整数を数える

右端は $4$ で、$4$ を含む。よって、解に含まれる整数を大きい方から並べると $4,3,2,1,\dots$ となる。ちょうど $3$ 個になるのは、含まれる整数が $4,3,2$ の $3$ 個で、$1$ は含まれないときである。

したがって、左端 $\frac{a}{2}$ は $1$ 以上 $2$ 未満の位置にあればよい。

手順4：端点を含むかどうかを調べる

• $\frac{a}{2}=1$ のとき、解は $1<x\leqq 4$ である。$1$ は含まれないので、整数は $2,3,4$ の $3$ 個となり、条件を満たす。よって等号を含める。
• $\frac{a}{2}=2$ のとき、解は $2<x\leqq 4$ である。$2$ が含まれないので、整数は $3,4$ の $2$ 個となり、条件を満たさない。よって等号を含めない。

以上より
$$1\leqq \frac{a}{2}<2$$

各辺に $2$ をかけて
$$2\leqq a<4$$

答え： $2\leqq a<4$

(1) より $x\leqq 4$。(2) より $x>\frac{a}{2}$。よって解は $\frac{a}{2}<x\leqq 4$。
整数解がちょうど 3 個となるのは、整数解が $4,3,2$ となるときである。
そのためには $1\leqq \frac{a}{2}<2$ が必要十分。
($\frac{a}{2}=1$ のとき $x>1$ なので整数解は $2,3,4$ の 3 個。$\frac{a}{2}=2$ のとき $x>2$ で整数解は $3,4$ の 2 個となり不適。)
したがって $2\leqq a<4$。
検算：$a=2$ のとき $x>1$ かつ $x\leqq 4$ で整数 $2,3,4$ の 3 個。$a=3.9$ のとき $x>1.95$ で $2,3,4$ の 3 個。$a=4$ のとき $x>2$ で 2 個。$a=1.9$ のとき $x>0.95$ で $1,2,3,4$ の 4 個。よって正しい。