数と式の問題

連立不等式は、それぞれの不等式を解き、両方を同時に満たす $x$ の範囲（共通部分）を求めます。

$(1)$ を解く
$$3x-2<x+6$$
$x$ の項を左辺に、数の項を右辺に移項すると
$$3x-x<6+2$$
$$2x<8$$
両辺を正の数 $2$ で割るので、不等号の向きはそのままです。
$$x<4\cdots (3)$$

$(2)$ を解く
$$x-1\leqq 3x+5$$
移項すると
$$x-3x\leqq 5+1$$
$$-2x\leqq 6$$
両辺を負の数 $-2$ で割るので、不等号の向きが変わります。
$$x\geqq -3\cdots (4)$$

共通部分をとる
$(3)$ と $(4)$ を数直線上に表すと、$(3)$ は $4$ より左側（$4$ は含まない、白丸）、$(4)$ は $-3$ より右側（$-3$ を含む、黒丸）です。両方が重なる部分は $-3$ から $4$ の間です。

よって、連立不等式の解は
$$-3\leqq x<4$$

(1) $3x-2<x+6$ より $2x<8$ なので $x<4$。
(2) $x-1\leqq 3x+5$ より $-6\leqq 2x$ なので $x\geqq -3$。
共通部分は $-3\leqq x<4$。
検算: $x=-3$ のとき (1) は $-11<3$ で成り立ち、(2) は $-4\leqq -4$ で成り立つ。$x=4$ のとき (1) は $10<10$ で成り立たない。よって区間 $[-3,4)$ で正しい。