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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。次の連立不等式を解け。 ${4 x + 1 > 2 x - 5 2 (x + 1) ≧ 5 x - 7 (1) (2)$

この問題で使うもの

連立不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「連立不等式」を使います。まず $(1)$ と $(2)$ をそれぞれ別々に 1 次不等式として解きましょう。

ヒント 2

$(2)$ は括弧をはずして移項すると $- 3 x ≧ - 9$ になります。負の数で割ると不等号の向きが変わることに注意しましょう。

ヒント 3

$(1)$ の解は $x > - 3$ 、 $(2)$ の解は $x ≦ 3$ です。この 2 つを数直線に描き、重なる部分を読み取りましょう。

答えと解説

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- 3 < x ≦ 3

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解説を読む

連立不等式は、それぞれの不等式を解き、両方を同時に満たす $x$ の範囲（共通部分）を求めます。

不等式 $(1)$ を解く
$4 x + 1 > 2 x - 5$
$x$ の項を左辺へ、数の項を右辺へ移項すると
$4 x - 2 x > - 5 - 1$
$2 x > - 6$
両辺を正の数 $2$ で割るので、不等号の向きは変わりません。
$x > - 3 \dots (3)$

不等式 $(2)$ を解く
括弧をはずすと
$2 x + 2 ≧ 5 x - 7$
移項すると
$2 x - 5 x ≧ - 7 - 2$
$- 3 x ≧ - 9$
両辺を負の数 $- 3$ で割るので、不等号の向きが変わります。
$x ≦ 3 \dots (4)$

共通部分をとる
$(3)$ と $(4)$ を数直線上に表します。 $(3)$ は $- 3$ より右側（ $- 3$ は含まないので白丸）、 $(4)$ は $3$ から左側（ $3$ は含むので黒丸）です。両方が重なっているのは $- 3$ と $3$ の間の部分なので、求める解は
$- 3 < x ≦ 3$
です。

別解

(1) $4 x + 1 > 2 x - 5$ より $2 x > - 6$ なので $x > - 3$ 。
(2) $2 (x + 1) ≧ 5 x - 7$ より $2 x + 2 ≧ 5 x - 7$ なので $9 ≧ 3 x$ となり $x ≦ 3$ 。
共通部分は $- 3 < x ≦ 3$ 。
検算: $x = 3$ のとき (1) は $13 > 1$ で成り立ち、(2) は $8 ≧ 8$ で成り立つ。 $x = - 3$ のとき (1) は $- 11 > - 11$ で成り立たない。 $x = 0$ のとき (1) は $1 > - 5$ 、(2) は $2 ≧ - 7$ でともに成り立つ。

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