数と式の問題

$(2)$, $(3)$ を解く。

$(2)$ より $2x>-6$ なので $x>-3$。

$(3)$ の両辺に $4$ を掛けて $2(x-1)\leqq x+1$、すなわち $x\leqq 3$。

よって $(2)$, $(3)$ をともに満たす $x$ の範囲は $-3<x\leqq 3$ であり、この範囲の整数は $-2,-1,0,1,2,3$ の $6$ 個である。

$(1)$ を整理する。

$(1)$ を移項すると $a^{2}x-x>a-1$、すなわち
$$(a+1)(a-1)x>a-1(4)$$
となる。$x$ の係数 $(a+1)(a-1)$ の符号で場合を分ける。

(i) $a=1$ のとき

$(4)$ は $0\cdot x>0$ となり、これを満たす $x$ はない。整数解は $0$ 個なので不適。

(ii) $a=-1$ のとき

$(4)$ は $0\cdot x>-2$ となり、すべての実数 $x$ で成り立つ。連立不等式の解は $-3<x\leqq 3$ で、整数解は $6$ 個なので不適。

(iii) $a>1$ のとき

$(a+1)(a-1)>0$ なので、$(4)$ の両辺を $(a+1)(a-1)$ で割って
$$x>\frac{1}{a+1}$$
ここで $a+1>2$ より $0<\frac{1}{a+1}<\frac{1}{2}$。

したがって連立不等式の解は $\frac{1}{a+1}<x\leqq 3$ で、整数解は $1,2,3$ のちょうど $3$ 個。よって $a>1$ はすべて適する。

(iv) $a<-1$ のとき

$(a+1)(a-1)>0$（$a+1<0$, $a-1<0$）なので、同様に $x>\frac{1}{a+1}$。ここで $a+1<0$ より $\frac{1}{a+1}<0$。

このとき連立不等式の解の範囲には $0,1,2,3$ がすべて含まれ、整数解は $4$ 個以上となるので不適。

(v) $-1<a<1$ のとき

$(a+1)(a-1)<0$ なので、両辺を $(a+1)(a-1)$ で割ると不等号の向きが変わり
$$x<\frac{1}{a+1}$$
ここで $0<a+1<2$ より $\frac{1}{a+1}>\frac{1}{2}$。

連立不等式の解は $-3<x<\frac{1}{a+1}$（ただし $x\leqq 3$）である。整数解は小さい方から $-2,-1,0,\cdots$ と並ぶので、ちょうど $3$ 個であるのは、整数解が $-2,-1,0$ となるとき、すなわち
$$0<\frac{1}{a+1}\leqq 1$$
のときである。$a+1>0$ なので $\frac{1}{a+1}\leqq 1$ は $1\leqq a+1$、すなわち $a\geqq 0$ と同値である。$-1<a<1$ と合わせて $0\leqq a<1$。

（確認: $a=0$ のとき $(1)$ は $-x>-1$ すなわち $x<1$ となり、整数解は $-2,-1,0$ の $3$ 個。）

まとめ

(i)〜(v) より、求める $a$ の値の範囲は
$$0\leqq a<1,1<a$$

(2) より $2x>-6$ なので $x>-3$。(3) の両辺に 4 をかけて $2(x-1)\leqq x+1$、よって $x\leqq 3$。したがって (2),(3) を合わせて $-3<x\leqq 3$ で、この範囲の整数は $-2,-1,0,1,2,3$ の 6 個。
(1) は $(a^2-1)x>a-1$、すなわち $(a-1)\{(a+1)x-1\}>0$ ... 実際には $(a^2-1)x>a-1$ を場合分けして解く。

[1] $a>1$ のとき $a^2-1>0$ なので $x>\frac{a-1}{a^2-1}=\frac{1}{a+1}$。$0<\frac{1}{a+1}<\frac{1}{2}$ だから、(1) の解の整数は $x\geqq 1$。(2),(3) と合わせて整数は $1,2,3$ の 3 個。条件を満たす。

[2] $a=1$ のとき (1) は $0\cdot x>0$ となり解なし。整数 0 個で不適。

[3] $-1<a<1$ のとき $a^2-1<0$ なので $x<\frac{a-1}{a^2-1}=\frac{1}{a+1}$。ここで $\frac{1}{a+1}>\frac{1}{2}>0$。(2),(3) と合わせると $-3<x\leqq 3$ かつ $x<\frac{1}{a+1}$。下の端から整数 $-2,-1,0,\dots$ が入っていくので、ちょうど 3 個となるのは $-2,-1,0$ が入り $1$ が入らないとき、すなわち $0<\frac{1}{a+1}\leqq 1$。$a+1>0$ より $a+1\geqq 1$、$a\geqq 0$。よって $0\leqq a<1$。
（$a<0$ のときは $\frac{1}{a+1}>1$ で $1$ まで入り 4 個以上になる。）

[4] $a=-1$ のとき (1) は $0\cdot x>-2$ で常に成り立つ。整数は 6 個で不適。

[5] $a<-1$ のとき $a^2-1>0$ なので $x>\frac{1}{a+1}$。ここで $\frac{1}{a+1}<0$ だから整数 $0,1,2,3$ はすべて解に入り、4 個以上となり不適。

以上より、求める範囲は $0\leqq a<1,a>1$。
検算: $a=0$ のとき (1) は $1>x$ で $x<1$、整数解は $-2,-1,0$ の 3 個。$a=2$ のとき (1) は $3x>1$ で $x>\frac{1}{3}$、整数解は $1,2,3$ の 3 個。$a=-\frac{1}{2}$ のとき (1) は $-\frac{3}{4}x>-\frac{3}{2}$ で $x<2$、整数解は $-2,-1,0,1$ の 4 個で不適、$a=3$ のとき $x>\frac{1}{4}$、整数解 $1,2,3$ の 3 個。