数と式の問題

まず $(2)$ を解く。両辺に $2$ を掛けて $x+3\geqq 2x$、よって
$$x\leqq 3$$

次に $(1)$ を整理すると
$$(a-1)x>a+1$$
$x$ の係数 $a-1$ の符号で場合を分ける。

(i) $a>1$ のとき
$a-1>0$ なので $(1)$ の解は $x>\frac{a+1}{a-1}$。
連立不等式が解をもたない条件は、$x>\frac{a+1}{a-1}$ と $x\leqq 3$ に共通部分がないこと、すなわち
$$\frac{a+1}{a-1}\geqq 3$$
である($\frac{a+1}{a-1}=3$ のときも、$x>3$ と $x\leqq 3$ に共通部分はない)。
$a-1>0$ なので両辺に $a-1$ を掛けて $a+1\geqq 3(a-1)$、$a+1\geqq 3a-3$、$a\leqq 2$。
$a>1$ と合わせて $1<a\leqq 2$。

(ii) $a=1$ のとき
$(1)$ は $0\cdot x>2$ となり、どんな実数 $x$ でも成り立たない。よって連立不等式は解をもたない。

(iii) $a<1$ のとき
$a-1<0$ なので $(1)$ の解は $x<\frac{a+1}{a-1}$。
これと $x\leqq 3$ の共通部分は、$x<\frac{a+1}{a-1}$ かつ $x\leqq 3$ を満たす十分小さい $x$ (たとえば両方の値より小さい $x$)を必ず含むので、解は存在する。よって不適。

以上 (i)〜(iii) より、求める $a$ の値の範囲は
$$1\leqq a\leqq 2$$

(2) より $x+3\ge 2x$ なので $x\le 3$。
(1) より $(a-1)x>a+1$。
・$a>1$：$x>\frac{a+1}{a-1}$。(2) と共通部分が空になるには $\frac{a+1}{a-1}\ge 3$。$a-1>0$ なので $a+1\ge 3a-3$、$a\le 2$。よって $1<a\le 2$。
・$a=1$：(1) は $0>2$ となり解なし。よって連立不等式も解なしで条件を満たす。
・$a<1$：$x<\frac{a+1}{a-1}$ となり、$x\le 3$ との共通部分は必ず存在する（十分小さい $x$）ので不適。
ゆえに $1\le a\le 2$。検算：$a=2$：(1) は $x>3$、(2) は $x\le 3$ で解なし。$a=1$：解なし。$a=3$：(1) は $x>2$、(2) との共通部分 $2<x\le 3$ があり不適。