数と式の問題

1 つ目の不等式 $5x+3>3x-4$ を解く。
$$2x>-7\text{より}x>-\frac{7}{2}$$
2 つ目の不等式 $3(x-a)\leqq x+2$ を解く。
$$3x-3a\leqq x+2,2x\leqq 3a+2\text{より}x\leqq \frac{3a+2}{2}$$
よって、連立不等式の解は
$$-\frac{7}{2}<x\leqq \frac{3a+2}{2}$$
である（解が存在するのは $-\frac{7}{2}<\frac{3a+2}{2}$ のとき）。

$-\frac{7}{2}=-3.5$ より大きい整数は小さい順に $-3,-2,-1,0,1,\dots$ である。これを満たす整数がちょうど $4$ 個となるのは、整数解が $-3,-2,-1,0$ の $4$ 個となるときであり、その条件は、右端 $\frac{3a+2}{2}$ が $0$ 以上かつ $1$ 未満であることである。
$$0\leqq \frac{3a+2}{2}<1$$
各辺に $2$ を掛けて
$$0\leqq 3a+2<2$$
各辺から $2$ を引いて
$$-2\leqq 3a<0$$
各辺を $3$ で割って
$$-\frac{2}{3}\leqq a<0$$

（確認）$a=-\frac{2}{3}$ のとき右端は $0$ で、$x=0$ は解に含まれるので整数解は $4$ 個。$a=0$ のとき右端は $1$ で、$x=1$ も解に含まれ $5$ 個になるので不適。

したがって、求める範囲は $-\frac{2}{3}\leqq a<0$ である。

第1式より $2x>-7$ なので $x>-\frac{7}{2}$。第2式より $3x-3a\leqq x+2$ なので $2x\leqq 3a+2$、すなわち $x\leqq \frac{3a+2}{2}$。

整数 $x$ は $-3$ 以上なので、ちょうど4個になるのは $x=-3,-2,-1,0$ のときである。このための条件は $0\leqq \frac{3a+2}{2}<1$。

各辺に2をかけると $0\leqq 3a+2<2$ なので、$-\frac{2}{3}\leqq a<0$。

検算：$a=-\frac{2}{3}$ のとき $x\leqq 0$ なので、整数解は $-3,-2,-1,0$ の4個。$a=0$ のとき $x\leqq 1$ なので5個となり不適。$a$ が $-\frac{2}{3}$ より少し小さいと $x\leqq$（負の数）となり3個以下で不適。よって条件に合う。

答え：$-\frac{2}{3}\leqq a<0$