数と式の問題

不等式を $$(a-1)x>2a-5$$ と変形し、$x$ の係数 $a-1$ の符号で場合分けする。

(i) $a>1$ のとき 両辺を正の数 $a-1$ で割ると $x>\frac{2a-5}{a-1}$。$1\leqq x\leqq 3$ のすべての $x$ でこれが成り立つ条件は、最小の $x=1$ で成り立つこと、すなわち $$1>\frac{2a-5}{a-1}$$ である。$a-1>0$ を両辺に掛けて $a-1>2a-5$、よって $a<4$。$a>1$ と合わせて $1<a<4$。

(ii) $a=1$ のとき 不等式は $0\cdot x>-3$ となり、すべての $x$ で成り立つ。よって $a=1$ は適する。

(iii) $a<1$ のとき 両辺を負の数 $a-1$ で割ると不等号の向きが変わり $x<\frac{2a-5}{a-1}$。$1\leqq x\leqq 3$ のすべての $x$ でこれが成り立つ条件は、最大の $x=3$ で成り立つこと、すなわち $$3<\frac{2a-5}{a-1}$$ である。$a-1<0$ を両辺に掛けると向きが変わり $3(a-1)>2a-5$、よって $a>-2$。$a<1$ と合わせて $-2<a<1$。

(i)〜(iii) を合わせて、求める範囲は $$-2<a<4.$$

（別解：$f(x)=(a-1)x+5-2a$ は $x$ の $1$ 次以下の式なので、$1\leqq x\leqq 3$ で常に正である条件は $f(1)=4-a>0$ かつ $f(3)=a+2>0$。これからも $-2<a<4$ が得られる。）

$f(x)=(a-1)x+5-2a$ とおく。$f$ は $x$ の一次関数 (または定数) なので、$1\le x\le 3$ で $f(x)>0$ となる条件は両端で正、すなわち $f(1)>0$ かつ $f(3)>0$。
$f(1)=a-1+5-2a=4-a>0$ より $a<4$。$f(3)=3a-3+5-2a=a+2>0$ より $a>-2$。
よって $-2<a<4$。
検算: $a=1$ (定数) のとき $5>2$ で成立。$a=4$ では $x=1$ で $3+5=8$ で等号となり不成立。$a=-2$ では $x=3$ で $-9+5=-4$ で等号となり不成立。$a=0$: $-x+5>0$ は $x\le 3$ で成立。