文字を含む2次不等式と連立不等式

$x^{2} - (a + 2) x + 2 a ≦ 0$ を $(x - 2) (x - a) ≦ 0$ と因数分解し、 $a$ と $2$ の大小で場合分けして解ける。さらに $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ との連立不等式の解を数直線で求め、それを満たす整数 $x$ がちょうど $k$ 個となるような $a$ の値の範囲を求められる

前提

2 次不等式（数学I 2次関数）
不等式を満たす整数の個数と定数の範囲（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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2 次不等式（数学I 2次関数）
1 次不等式（数学I 数と式）
連立不等式（数学I 数と式）
不等式を満たす整数の個数と定数の範囲（数学I 数と式）

説明

$x^{2} - (a + 2) x + 2 a ≦ 0$ のように定数 $a$ を含む2次不等式は、左辺を因数分解すると2つの解が $2$ と $a$ になります。ただし、どちらが小さいかは $a$ の値で変わります。そこで $a$ と $2$ の大小で場合分けして解きます。さらに、文字を含まない別の不等式と組み合わせた連立不等式の解を数直線で求め、そこに含まれる整数の個数から $a$ の値の範囲を決められるようになります。

なぜそうしてよいのか

$x^{2} - (a + 2) x + 2 a$ を展開の逆で考えます。和が $a + 2$ 、積が $2 a$ になる2数は $2$ と $a$ なので、 $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = (x - 2) (x - a)$ です。 $y = (x - 2) (x - a)$ のグラフは下に凸の放物線で、 $x$ 軸と $x = 2, x = a$ で交わります（ $a = 2$ のときは $x = 2$ で接します）。 $y ≦ 0$ となるのはグラフが $x$ 軸以下にある部分なので、解は「小さい方の解以上、大きい方の解以下」です。

ここで問題になるのは、 $2$ と $a$ のどちらが小さいかが $a$ の値によって変わることです。 $a < 2$ なら解は $a ≦ x ≦ 2$ 、 $a > 2$ なら $2 ≦ x ≦ a$ です。 $a = 2$ なら不等式は $(x - 2)^{2} ≦ 0$ になります。2乗は $0$ 以上なので、成り立つのは $x = 2$ のときだけです。このように、解の形が変わる境目 $a = 2$ で場合を分けると、どの $a$ についても正しく解けます。

連立不等式の解は、それぞれの不等式の解の共通部分です。場合ごとに数直線に2つの解を重ねて共通部分を求め、そこに入る整数を数えます。ここからは前提の技能「整数の個数と定数の範囲」と同じ考え方で、端点を含むかどうかに注意して $a$ の範囲を決めます。

手順

文字を含む2次式を因数分解する： $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = (x - 2) (x - a)$ （展開して確かめる）
2つの解 $2$ と $a$ の大小で $a < 2, a = 2, a > 2$ に場合分けし、それぞれの解を書く： $a < 2$ なら $a ≦ x ≦ 2$ 、 $a = 2$ なら $x = 2$ 、 $a > 2$ なら $2 ≦ x ≦ a$
文字を含まない方の不等式を解く： $x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1) (x - 5) < 0$ より $- 1 < x < 5$
場合ごとに2つの解を数直線に重ねて共通部分を求める。 $a$ が $- 1$ や $5$ を越えると共通部分の形が変わるので、必要ならさらに場合を分ける
共通部分に含まれる整数を数え、ちょうど $k$ 個になる $a$ の範囲を求める。端点の $a$ の値は代入して直接確かめる
各場合で得た $a$ の範囲を合わせて答えにする

例題

連立不等式 $x^{2} - 4 x - 5 < 0, x^{2} - (a + 2) x + 2 a ≦ 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = (x - 2) (x - a)$ なので、2つ目の不等式は $(x - 2) (x - a) ≦ 0$ である。
【手順2】 $a < 2$ のとき $a ≦ x ≦ 2$ 、 $a = 2$ のとき $x = 2$ 、 $a > 2$ のとき $2 ≦ x ≦ a$ である。
【手順3】 $x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1) (x - 5) < 0$ より $- 1 < x < 5$ である。
【手順4・5】場合ごとに共通部分を求め、整数を数える。
(i) $a < 2$ のとき： $a ≦ - 1$ なら共通部分は $- 1 < x ≦ 2$ で、整数は $0, 1, 2$ の $3$ 個なので不適。 $- 1 < a < 2$ なら共通部分は $a ≦ x ≦ 2$ である。整数がちょうど $2$ 個になるのは、含まれる整数が $1, 2$ のときである。そのためには $1$ を含み $0$ を含まないことが必要なので $0 < a ≦ 1$ となる。端点を確かめると、 $a = 1$ のとき $1 ≦ x ≦ 2$ で整数は $1, 2$ だから適する。 $a = 0$ のとき $0 ≦ x ≦ 2$ で整数は $0, 1, 2$ の3個だから不適。
(ii) $a = 2$ のとき：解は $x = 2$ で、これは $- 1 < x < 5$ を満たす。整数は $1$ 個なので不適。
(iii) $a > 2$ のとき： $a ≧ 5$ なら共通部分は $2 ≦ x < 5$ で、整数は $2, 3, 4$ の $3$ 個なので不適。 $2 < a < 5$ なら共通部分は $2 ≦ x ≦ a$ である。整数が $2, 3$ の $2$ 個になるのは、 $3$ を含み $4$ を含まないときだから $3 ≦ a < 4$ となる。端点を確かめると、 $a = 3$ のとき整数は $2, 3$ で適する。 $a = 4$ のとき整数は $2, 3, 4$ で不適。
【手順6】以上を合わせて $0 < a ≦ 1, 3 ≦ a < 4$ である。

答え: $0 < a ≦ 1, 3 ≦ a < 4$

よくある誤り

場合分けをせずに $(x - 2) (x - a) ≦ 0$ の解を $2 ≦ x ≦ a$ と決めてしまう誤り。この書き方では $a < 2$ のとき解がないように見えてしまう。正しくは $a < 2$ のとき $a ≦ x ≦ 2$ である。
$a = 2$ の場合を落とす、または $(x - 2)^{2} ≦ 0$ を「解なし」「すべての実数」としてしまう誤り。正しくは、 $(x - 2)^{2} ≧ 0$ なので等号が成り立つ $x = 2$ だけが解である。
端点の $a$ の値を確かめずに範囲を決めてしまう誤り。例題で $0 ≦ a ≦ 1$ とすると、 $a = 0$ のとき $0 ≦ x ≦ 2$ となり整数が $0, 1, 2$ の3個になってしまう。正しくは $0 < a ≦ 1$ である。
$x^{2} - 4 x - 5 < 0$ の解の端が等号を含まないことを忘れる誤り。 $a ≧ 5$ のとき共通部分を $2 ≦ x ≦ 5$ として整数を $2, 3, 4, 5$ と数えてしまう。正しくは共通部分は $2 ≦ x < 5$ で、整数は $2, 3, 4$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

文字を含む2次不等式と連立不等式

前提

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