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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

$a$ は $a > 3$ を満たす実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - 2 x - 24 ≦ 0 x^{2} - (a + 3) x + 3 a < 0 (1) (2)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

文字を含む2次不等式と連立不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

文字を含む2次不等式 $(2)$ を因数分解して解き、 $(1)$ の解と数直線上で共通部分をとる技能を使います。

ヒント 2

$x^{2} - (a + 3) x + 3 a = (x - 3) (x - a)$ です。 $a > 3$ なので、 $(2)$ の解は $3$ と $a$ の間になります。

ヒント 3

$(1)$ の解は $- 4 ≦ x ≦ 6$ 、 $(2)$ の解は $3 < x < a$ です。共通部分に入る整数の候補は $4, 5, 6$ です。このうち $4, 5$ だけが入るように $a$ の位置を考えましょう。

答えと解説

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5 < a ≦ 6

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解説を読む

手順1：不等式 $(1)$ を解く。
$x^{2} - 2 x - 24 = (x + 4) (x - 6)$ なので、 $(1)$ は $(x + 4) (x - 6) ≦ 0$ となる。よって
$- 4 ≦ x ≦ 6$

手順2：文字を含む不等式 $(2)$ を因数分解して解く。
$x^{2} - (a + 3) x + 3 a = (x - 3) (x - a)$ なので、 $(2)$ は $(x - 3) (x - a) < 0$ となる。
$a > 3$ であるから、 $3$ と $a$ の大小は $3 < a$ と決まっている。よって $(2)$ の解は
$3 < x < a$

手順3：数直線で共通部分を考える。
$(1)$ の範囲 $- 4 ≦ x ≦ 6$ と $(2)$ の範囲 $3 < x < a$ を数直線上に並べる。 $3$ より大きい整数を小さい順に並べると $4, 5, 6, 7, \dots$ であるが、 $(1)$ により $x ≦ 6$ なので、連立不等式を満たす整数の候補は $4, 5, 6$ だけである。

連立不等式を満たす整数がちょうど $2$ 個になるのは、 $4, 5$ が含まれ、 $6$ が含まれないときである。

手順4：端点に注意して $a$ の範囲を決める。
- $5$ が含まれる条件： $5 < a$ （ $a = 5$ のときは $3 < x < 5$ となり、 $5$ は含まれない）
- $6$ が含まれない条件： $a ≦ 6$ （ $a = 6$ のときは $3 < x < 6$ となり、 $6$ は含まれない。 $a > 6$ のときは共通部分が $3 < x ≦ 6$ となり、 $6$ が含まれる）

たとえば $a = 6$ のとき、共通部分は $3 < x < 6$ で、整数は $4, 5$ の $2$ 個となり、条件を満たす。

したがって、求める範囲は
$5 < a ≦ 6$

別解

(1) より $(x - 6) (x + 4) ≦ 0$ なので $- 4 ≦ x ≦ 6$ 。
(2) は $(x - 3) (x - a) < 0$ で、 $a > 3$ より $3 < x < a$ 。
共通部分に含まれる整数は $4, 5, 6$ のうち $x < a$ を満たすものだけである。ちょうど 2 個になるのは整数 $4, 5$ だけが含まれるときで、 $5 < a ≦ 6$ 。
確認: $a = 6$ のとき $3 < x < 6$ で整数は $4, 5$ の 2 個。 $a = 5$ のとき $4$ の 1 個のみ。 $a = 6.5$ のとき $4, 5, 6$ の 3 個。よって $5 < a ≦ 6$ 。

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