2次関数の問題

第 1 式について
$$x^2-x-6=(x+2)(x-3)>0$$
より、$x<-2$ または $x>3$ である。

第 2 式について
$$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)<0$$
である。$a$ と $1$ の大小で場合分けする。

(i) $a>1$ のとき

第 2 式の解は $1<x<a$ である。これと $x<-2$ の共通部分はない。$x>3$ との共通部分は、$a\leqq 3$ なら存在せず、$a>3$ なら $3<x<a$ である。

よって連立不等式の解は $3<x<a$（$a>3$）となる。これを満たす整数がちょうど $2$ 個であるとき、その整数は $4,5$ であり、$6$ は含まれない。このための条件は $5<a\leqq 6$ である。
- $a=5$ のときは $3<x<5$ となり、整数は $4$ の $1$ 個だけである。
- $a=6$ のときは $3<x<6$ となり、整数は $4,5$ の $2$ 個である。

この範囲は $a>1$ を満たす。

(ii) $a=1$ のとき

第 2 式は $(x-1{)}^2<0$ となり、解はない。よって条件を満たさない。

(iii) $a<1$ のとき

第 2 式の解は $a<x<1$ である。これと $x>3$ の共通部分はない。$x<-2$ との共通部分は、$a\geqq -2$ なら存在せず、$a<-2$ なら $a<x<-2$ である。

よって連立不等式の解は $a<x<-2$（$a<-2$）となる。これを満たす整数がちょうど $2$ 個であるとき、その整数は $-3,-4$ であり、$-5$ は含まれない。このための条件は $-5\leqq a<-4$ である。
- $a=-5$ のときは $-5<x<-2$ となり、整数は $-4,-3$ の $2$ 個である。
- $a=-4$ のときは $-4<x<-2$ となり、整数は $-3$ の $1$ 個だけである。

この範囲は $a<1$ を満たす。

結論

以上より、求める範囲は
$$-5\leqq a<-4,5<a\leqq 6$$
である。

第1式は $(x-3)(x+2)>0$ より $x<-2$ または $x>3$。第2式は $(x-1)(x-a)<0$。

(i) $a>1$ のとき、第2式の解は $1<x<a$。第1式と合わせると整数解は $x=4,5,\dots$ のうち $a$ 未満のものになる。ちょうど2個になるのは $x=4,5$ のときなので $5<a\le 6$。
検算: $a=6$ なら $1<x<6$ かつ第1式より $x=4,5$ の2個。$a=5$ なら $x=4$ のみの1個。

(ii) $a=1$ のとき、第2式は $(x-1{)}^2<0$ で解なし。不適。

(iii) $a<1$ のとき、第2式の解は $a<x<1$。第1式と合わせると整数解は $x=-3,-4,\dots$ のうち $a$ より大きいもの。ちょうど2個になるのは $x=-3,-4$ のときなので $-5\le a<-4$。
検算: $a=-5$ なら $-4,-3$ の2個。$a=-4$ なら $-3$ のみの1個。

以上より $-5\le a<-4$ または $5<a\le 6$。