2次関数の問題

第 1 式について

$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)<0$ より
$$-1<x<5$$
この範囲にある整数は $x=0,1,2,3,4$ である。

第 2 式について

$x^2-(a+2)x+2a=(x-2)(x-a)\leqq 0$ である。$a$ と $2$ の大小で場合分けする。

(i) $a>2$ のとき

第 2 式の解は $2\leqq x\leqq a$ である。連立不等式の解は $-1<x<5$ との共通部分なので、それを満たす整数は $2$ から小さい順に $2,3,4$ のうち $a$ 以下のものである。ちょうど $2$ 個（$x=2,3$）となるのは、$3$ は含み $4$ は含まないとき、すなわち
$$3\leqq a<4$$
のときである（$a\geqq 4$ なら $2,3,4$ の $3$ 個、$2<a<3$ なら $2$ のみの $1$ 個）。

(ii) $a=2$ のとき

第 2 式は $(x-2{)}^2\leqq 0$ で、解は $x=2$ のみ。整数は $1$ 個なので不適。

(iii) $a<2$ のとき

第 2 式の解は $a\leqq x\leqq 2$ である。$-1<x<5$ との共通部分に含まれる整数は、$2$ から大きい順に $2,1,0$ のうち $a$ 以上のものである。ちょうど $2$ 個（$x=1,2$）となるのは、$1$ は含み $0$ は含まないとき、すなわち
$$0<a\leqq 1$$
のときである（$a\leqq 0$ なら $0,1,2$ の $3$ 個、$1<a<2$ なら $2$ のみの $1$ 個）。

以上より、求める $a$ の値の範囲は
$$0<a\leqq 1,3\leqq a<4$$

第1式は $(x+1)(x-5)<0$ より $-1<x<5$。この範囲の整数は $0,1,2,3,4$。
第2式は $(x-2)(x-a)\leqq 0$。

(i) $a\geqq 2$ のとき、第2式の解は $2\leqq x\leqq a$。条件を満たす整数は $2,3,4$ のうち $a$ 以下のもの。ちょうど2個となるのは $2,3$ のときで、$3\leqq a<4$。

(ii) $a<2$ のとき、第2式の解は $a\leqq x\leqq 2$。$x=2$ は常に含まれる。もう1個はちょうど $x=1$ のみで、$x=0$ は含まれない。よって $0<a\leqq 1$。

検算: $a=1$ なら $[1,2]$ で整数は $1,2$ の2個。$a=0$ なら $0,1,2$ の3個で不適。$a=3$ なら $[2,3]$ で $2,3$ の2個。$a=4$ なら $2,3,4$ の3個で不適。

したがって $0<a\leqq 1$ または $3\leqq a<4$。