2次関数の問題

不等式 $(1)$ を解く。
$x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$ なので、$(x+2)(x-4)<0$ より
$$-2<x<4$$

不等式 $(2)$ を解く。
左辺を因数分解すると $x^2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a)$ なので、$(2)$ は $(x-3)(x-a)\leqq 0$ となる。
条件より $a<3$ なので、2つの解 $a,3$ の小さい方は $a$ である。よって
$$a\leqq x\leqq 3$$

連立不等式の解を考える。
$(1)$ と $(2)$ の解を数直線上に表して共通部分をとる。$3<4$ なので右端は $x\leqq 3$ である。

• $a\leqq -2$ のとき、共通部分は $-2<x\leqq 3$ で、整数は $-1,0,1,2,3$ の $5$ 個となり、条件を満たさない。
• $-2<a<3$ のとき、共通部分は $a\leqq x\leqq 3$ である。

整数がちょうど 2 個となる条件。
$a\leqq x\leqq 3$ に含まれる整数が大きい方から $3,2$ の $2$ 個だけになればよい。つまり、$2$ は含み、$1$ は含まない。
- $2$ を含む条件：$a\leqq 2$（$a=2$ のとき $2\leqq x\leqq 3$ となり、$x=2$ を含む）
- $1$ を含まない条件：$a>1$（$a=1$ のとき $x=1$ を含んでしまう）

よって $1<a\leqq 2$ であり、これは $-2<a<3$ を満たす。

答え：$1<a\leqq 2$

(1) $(x+2)(x-4)<0$ より $-2<x<4$。この範囲の整数は $-1,0,1,2,3$。
(2) $x^2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a)\leqq 0$。$a<3$ より解は $a\leqq x\leqq 3$。
共通部分の整数解は、$a\leqq x\leqq 3$ にある $\{-1,0,1,2,3\}$ の要素で、$3$ は常に含まれる。
ちょうど $2$ 個になるのは整数解が $2,3$ のときで、$2\geqq a$ かつ $1\geqq$ ではなく $a>1$ が必要。つまり $1<a\leqq 2$。
検算：$a=2$ なら $x=2,3$ の $2$ 個。$a=1.5$ でも $x=2,3$ の $2$ 個。$a=1$ なら $x=1,2,3$ の $3$ 個で不適。$a=2.5$ なら $x=3$ のみの $1$ 個で不適。
答え：$1<a\leqq 2$