2次関数の問題

方針 「すべての実数 $x$ で $a{x}^2+bx+c>0$」という条件を、グラフの言葉に言い換えます。

$f(x)=x^2+ax+a+3$ とおきます。$y=f(x)$ のグラフは、$x^2$ の係数が $1>0$ なので下に凸の放物線です。

すべての実数 $x$ で $f(x)>0$ となるのは、このグラフ全体が $x$ 軸より上にあるとき、つまりグラフが $x$ 軸と共有点をもたないときです。$x^2$ の係数がすでに正なので、残る条件は 2 次方程式 $f(x)=0$ の判別式 $D$ について $D<0$ となることだけです。

判別式を計算する
$$D=a^2-4\cdot 1\cdot (a+3)=a^2-4a-12$$

$D<0$ を解く
$$a^2-4a-12<0$$
左辺を因数分解すると
$$(a+2)(a-6)<0$$
よって
$$-2<a<6$$

確かめ たとえば $a=0$ のとき、$f(x)=x^2+3$ はつねに正になり、条件を満たします。$a=6$ のときは $D=0$ となり、$f(x)=x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ は $x=-3$ で $0$ になるので条件を満たしません。端の値が含まれないことも確かめられました。

答えは $-2<a<6$ です。

すべての実数 $x$ で $x^2+ax+a+3>0$ が成り立つ条件は、$x^2$ の係数が正なので、判別式 $D<0$ である。
$D=a^2-4(a+3)=a^2-4a-12=(a-6)(a+2)<0$ より $-2<a<6$。
検算：$a=0$ のとき $x^2+3>0$ で成り立つ。$a=6$ のとき $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ で $x=-3$ のとき $0$ となり不適。$a=-2$ のとき $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ で $x=1$ のとき $0$ となり不適。$a=7$ のとき $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ で $x=-3$ のとき負となり不適。よって端点は含まない。