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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

$k$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ について、不等式 $x^{2} - 2 k x + k + 6 > 0$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

つねに成り立つ2次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「つねに成り立つ2次不等式」の技能を使います。すべての実数 $x$ で $a x^{2} + b x + c > 0$ となる条件は「 $a > 0$ かつ判別式 $D < 0$ 」です。

ヒント 2

$x^{2}$ の係数は $1 > 0$ なので、残る条件は $D < 0$ だけです。 $\frac{D}{4} = (- k)^{2} - (k + 6)$ を計算しましょう。

ヒント 3

$\frac{D}{4} = k^{2} - k - 6$ なので、 $k^{2} - k - 6 < 0$ を解きます。左辺は $(k - 3) (k + 2)$ と因数分解できます。

答えと解説

答えを見る

- 2 < k < 3

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解説を読む

$f (x) = x^{2} - 2 k x + k + 6$ とおく。

手順1：条件を言い換える

$y = f (x)$ のグラフは $x^{2}$ の係数が $1 > 0$ なので下に凸の放物線である。すべての実数 $x$ で $f (x) > 0$ となるのは、グラフ全体が $x$ 軸より上にあるとき、つまりグラフが $x$ 軸と共有点をもたないときである。

したがって、2次方程式 $x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0$ の判別式を $D$ とすると、求める条件は
$D < 0$
である（ $x^{2}$ の係数 $1 > 0$ はすでに満たされている）。

手順2：判別式を計算する

$x$ の係数が $- 2 k$ で偶数の形なので、 $\frac{D}{4}$ を使うと
$\frac{D}{4} = (- k)^{2} - 1 \cdot (k + 6) = k^{2} - k - 6$

手順3：不等式を解く

$D < 0$ より
$k^{2} - k - 6 < 0$
左辺を因数分解して
$(k - 3) (k + 2) < 0$
よって
$- 2 < k < 3$

確かめ：たとえば $k = 0$ のとき $f (x) = x^{2} + 6 > 0$ はつねに成り立つ。 $k = 3$ のとき $f (x) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ となり、 $x = 3$ で $0$ になるので不適である。

答え： $- 2 < k < 3$

別解

左辺は $x^{2}$ の係数が正の2次式なので、すべての実数 $x$ で $x^{2} - 2 k x + k + 6 > 0$ となる条件は、判別式 $D < 0$ である。
$\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6 = (k - 3) (k + 2) < 0$
よって $- 2 < k < 3$ 。
検算: $k = 0$ のとき $x^{2} + 6 > 0$ で常に成立する。 $k = 3$ のとき $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} \geq 0$ で、 $x = 3$ で $0$ となるので不適。 $k = - 2$ のとき $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ で、 $x = - 2$ で $0$ となるので不適。端点は含まれない。

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