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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^{2} - 2 a x + a + 6 > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

つねに成り立つ2次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「すべての実数 $x$ で $2$ 次式 $> 0$ 」は、「 $x^{2}$ の係数が正」かつ「判別式 $D < 0$ 」と言い換えられます。

ヒント 2

$x^{2}$ の係数は $1$ で正です。あとは $\frac{D}{4} = (- a)^{2} - (a + 6) < 0$ を解けばよいです。

ヒント 3

$\frac{D}{4} = a^{2} - a - 6 = (a + 2) (a - 3)$ となるので、 $(a + 2) (a - 3) < 0$ を解きます。

答えと解説

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- 2 < a < 3

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解説を読む

$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 6$ とおく。

方針：すべての実数 $x$ で $a x^{2} + b x + c > 0$ が成り立つ条件は「 $x^{2}$ の係数が正、かつ判別式 $D < 0$ 」である。これは、グラフが下に凸で、 $x$ 軸と共有点をもたない（つねに $x$ 軸より上にある）ということである。

手順1： $x^{2}$ の係数を確認する
$x^{2}$ の係数は $1$ で正なので、 $y = f (x)$ のグラフは下に凸の放物線である。この条件は $a$ の値に関係なく満たされる。

手順2：判別式の条件を立てる
下に凸のグラフがつねに $x$ 軸より上にあるためには、グラフが $x$ 軸と共有点をもたなければよい。つまり、2次方程式 $f (x) = 0$ の判別式を $D$ とすると $D < 0$ である。

$x$ の係数が $- 2 a$ （偶数の形）なので $\frac{D}{4}$ を使うと
$\frac{D}{4} = (- a)^{2} - 1 \cdot (a + 6) = a^{2} - a - 6$
となる。

手順3： $a$ についての2次不等式を解く
$a^{2} - a - 6 < 0$
$(a + 2) (a - 3) < 0$
よって
$- 2 < a < 3$

（確認： $a = 0$ のとき $f (x) = x^{2} + 6 > 0$ となり、たしかにすべての $x$ で成り立つ。 $a = 3$ のとき $f (x) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ となり、 $x = 3$ で $0$ になるので不適である。）

答え： $- 2 < a < 3$

別解

$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 6$ は下に凸の放物線なので、すべての実数 $x$ で $f (x) > 0$ となる条件は、判別式 $D < 0$ である。
$\frac{D}{4} = a^{2} - (a + 6) = a^{2} - a - 6 = (a - 3) (a + 2) < 0$ より $- 2 < a < 3$ 。
検算： $a = 0$ のとき $x^{2} + 6 > 0$ で成り立つ。 $a = 3$ のとき $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ で $x = 3$ のとき $0$ となり不適。 $a = - 2$ のとき $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ で $x = - 2$ のとき $0$ となり不適。端点は含まない。

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