2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+a+2$ とおきます。平方完成すると
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$
となります。$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ です。

求める条件は「$0\leqq x\leqq 3$ における $f(x)$ の最小値が正であること」です。最小値は軸の位置によって変わるので、次の 3 つの場合に分けて考えます。

(i) $a<0$ のとき

軸が区間の左外にあるので、区間内で $f(x)$ は増加します。最小値は
$$f(0)=a+2$$
です。$a+2>0$ より $a>-2$ となります。$a<0$ と合わせて $-2<a<0$ です。

(ii) $0\leqq a\leqq 3$ のとき

軸が区間内にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標
$$f(a)=-a^2+a+2$$
です。条件 $-a^2+a+2>0$ を変形すると
$$a^2-a-2<0⟺(a-2)(a+1)<0$$
となるので $-1<a<2$ です。$0\leqq a\leqq 3$ と合わせて $0\leqq a<2$ です。

(iii) $a>3$ のとき

軸が区間の右外にあるので、区間内で $f(x)$ は減少します。最小値は
$$f(3)=9-6a+a+2=11-5a$$
です。$11-5a>0$ より $a<\frac{11}{5}$ となりますが、これは $a>3$ を満たしません。よって、この場合に適する $a$ はありません。

まとめ

(i)〜(iii) を合わせると、求める範囲は
$$-2<a<2$$
です。

$f(x)=x^2-2ax+a+2=(x-a{)}^2-a^2+a+2$ とおく。区間 $0\leqq x\leqq 3$ における $f(x)$ の最小値が正であればよい。

(i) $a<0$ のとき、最小値は $f(0)=a+2>0$ より $a>-2$。よって $-2<a<0$。

(ii) $0\leqq a\leqq 3$ のとき、最小値は $f(a)=-a^2+a+2>0$。すなわち $a^2-a-2<0$、$(a-2)(a+1)<0$ より $-1<a<2$。よって $0\leqq a<2$。

(iii) $a>3$ のとき、最小値は $f(3)=9-6a+a+2=11-5a>0$ より $a<\frac{11}{5}$。これは $a>3$ と両立しないので解なし。

(i)〜(iii) を合わせて $-2<a<2$。

検算：$a=-2$ では $f(0)=0$ となり不適。$a=2$ では $f(2)=4-8+4=0$ で不適。$a=1$ では $f(x)=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ で成立。$a=-1.9$ では $f(0)=0.1>0$ で成立。