つねに成り立つ2次不等式

すべての実数 $x$ で $a x^{2} + b x + c > 0$ となる条件を $a > 0, D < 0$ に、区間 $α ≦ x ≦ β$ のすべての $x$ で $f (x) > 0$ となる条件を「区間での最小値 $> 0$ 」に言い換えて、定数の値の範囲を求められる

前提

この技能までの道筋（28 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）
文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け（数学I 2次関数）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

2次不等式が「どんな $x$ に対しても成り立つ」ような定数の値の範囲を求める技能です。すべての実数 $x$ で $a x^{2} + b x + c > 0$ $(a \neq = 0)$ となる条件は「 $a > 0$ かつ $D < 0$ 」と言い換えられます。区間 $α ≦ x ≦ β$ のすべての $x$ で $f (x) > 0$ となる条件は「その区間での最小値 $> 0$ 」と言い換えられます。こうして、不等式の問題を判別式の符号の問題や最小値の問題に置きかえて解けます。

なぜそうしてよいのか

$a \neq = 0$ のとき、平方完成すると $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a}$ （ $D = b^{2} - 4 a c$ ）となります。 $a < 0$ のときを考えます。 $x$ を軸から遠ざけると、 $a (x + \frac{b}{2 a})^{2}$ は負で絶対値がいくらでも大きくなります。そのため、値が負になる $x$ が必ずあります。よって $a > 0$ が必要です。 $a > 0$ のとき最小値は頂点での値 $- \frac{D}{4 a}$ です。したがって、すべての $x$ で正 $⟺ - \frac{D}{4 a} > 0 ⟺ D < 0$ となります。グラフで言えば「下に凸の放物線が $x$ 軸と共有点をもたず、全体が $x$ 軸より上にある」ということです。なお $a = 0$ のときは1次式以下になるので、この話は使えず別に調べます。

区間 $α ≦ x ≦ β$ だけで考える場合を考えます。区間内でいちばん小さい値が正なら、他の値もすべて正です。逆に、区間内の値がすべて正なら最小値も正です。したがって「区間内のすべての $x$ で $f (x) > 0$ 」 $⟺$ 「区間での最小値 $m > 0$ 」です。最小値は、軸と区間の位置関係で場合分けして求めます。

短い例を示します。 $0 ≦ x ≦ 1$ のすべての $x$ で $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 > 0$ となる $a$ の範囲を求めます。 $f (x) = (x - a)^{2} + 2 - a^{2}$ なので、軸は $x = a$ です。
・ $a < 0$ のとき：最小値は $m = f (0) = 2 > 0$ で、つねに成り立ちます。
・ $0 ≦ a ≦ 1$ のとき：最小値は $m = f (a) = 2 - a^{2}$ です。 $2 - a^{2} > 0$ を解くと $- 2 < a < 2$ となり、場合の条件 $0 ≦ a ≦ 1$ はすべてこれを満たします。
・ $a > 1$ のとき：最小値は $m = f (1) = 3 - 2 a$ です。 $3 - 2 a > 0$ より $a < \frac{3}{2}$ なので、 $1 < a < \frac{3}{2}$ となります。
3つの場合を合わせると、答えは $a < \frac{3}{2}$ です。

手順

「すべての実数 $x$ 」で成り立つのか、「区間 $α ≦ x ≦ β$ のすべての $x$ 」で成り立つのかを確認する。
（すべての実数のとき） $x^{2}$ の係数 $a$ が文字を含むなら、まず $a = 0$ の場合を別に調べる（1次式以下になるので判別式は使えない）。
（すべての実数、 $a \neq = 0$ のとき）条件を「 $a > 0$ かつ $D = b^{2} - 4 a c < 0$ 」に言い換えて解く。 $b = 2 b^{'}$ なら $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c < 0$ を使ってもよい。 $≧ 0$ の場合は「 $a > 0$ かつ $D ≦ 0$ 」とする。
（区間のとき）平方完成して軸を求める。軸と区間の位置関係で場合分けして区間での最小値 $m$ を求め、各場合で $m > 0$ を解く。
各場合で得た範囲と、その場合分けの条件との共通部分をとる。最後にすべての場合を合わせて答える。

例題

すべての実数 $x$ に対して $x^{2} - 2 k x + k + 6 > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1：「すべての実数 $x$ 」で成り立つ条件を求める問題である。
手順2： $x^{2}$ の係数は $1$ で文字を含まず、 $0$ にならない。よって $a = 0$ の場合分けは不要である。
手順3： $x^{2}$ の係数は $1 > 0$ なので、 $a > 0$ は満たされている。残る条件は判別式 $D < 0$ である。 $x$ の係数は $- 2 k = 2 \cdot (- k)$ なので
$\frac{D}{4} = (- k)^{2} - 1 \cdot (k + 6) = k^{2} - k - 6 < 0$
因数分解すると $(k - 3) (k + 2) < 0$ となる。 $y = (k - 3) (k + 2)$ のグラフは下に凸で、 $k = - 2, 3$ で $k$ 軸と交わる。よって値が負になるのは $- 2 < k < 3$ のときである。
手順5：場合分けはないので、これが答えである。よって $- 2 < k < 3$ 。

答え: $- 2 < k < 3$

よくある誤り

$k x^{2} + 2 x + k > 0$ のように $x^{2}$ の係数が文字のとき、いきなり「 $k > 0$ かつ $D < 0$ 」だけを調べてしまう誤り。正しくは $k = 0$ の場合も別に確認する（このとき $2 x > 0$ となり、すべての $x$ では成り立たない）。
「すべての $x$ で $> 0$ 」なのに $D ≦ 0$ としてしまう誤り。 $D = 0$ だと頂点で値が $0$ になり、 $> 0$ を満たさない。正しくは $> 0$ なら $D < 0$ 、 $≧ 0$ なら $D ≦ 0$ とする。
区間 $α ≦ x ≦ β$ で成り立つ条件を $D < 0$ としてしまう誤り。 $a > 0$ のとき、 $D < 0$ は区間で成り立つための十分条件だが、必要条件ではない。たとえば $x^{2} - 4 > 0$ は $D = 16 > 0$ でも $3 ≦ x ≦ 4$ で成り立つ。また $a < 0$ のときは、 $D < 0$ だと $f (x)$ はすべての $x$ で負になる（例： $- x^{2} - 1$ ）。正しくは、区間での最小値 $m > 0$ を調べる。
$a > 0$ の条件を落とし、 $D < 0$ だけで答えてしまう誤り。 $- x^{2} - 1$ は $D = - 4 < 0$ だが、値はつねに負である。正しくは「 $a > 0$ かつ $D < 0$ 」の両方を満たす範囲をとる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

つねに成り立つ2次不等式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題