2次関数の問題

方程式の判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=(-k{)}^2-(2ak-3a-4)=k^2-2ak+3a+4$$
である。方程式が異なる 2 つの実数解をもつ条件は $\frac{D}{4}>0$ であるから、
$$g(k)=k^2-2ak+3a+4$$
とおくと、求める条件は「$0\leqq k\leqq 2$ のすべての $k$ に対して $g(k)>0$」、すなわち「$0\leqq k\leqq 2$ における $g(k)$ の最小値が正」である。

$g(k)=(k-a{)}^2-a^2+3a+4$ より、$y=g(k)$ のグラフは下に凸で、軸は $k=a$ である。軸の位置で場合分けする。

$(1)$ $a<0$ のとき

$0\leqq k\leqq 2$ で $g(k)$ は増加するので、最小値は $g(0)=3a+4$ である。
$$3a+4>0⟺a>-\frac{4}{3}$$
$a<0$ と合わせて $-\frac{4}{3}<a<0$。

$(2)$ $0\leqq a\leqq 2$ のとき

最小値は $g(a)=-a^2+3a+4$ である。
$$-a^2+3a+4>0⟺a^2-3a-4<0⟺(a+1)(a-4)<0⟺-1<a<4$$
$0\leqq a\leqq 2$ はすべてこれを満たすので、$0\leqq a\leqq 2$。

$(3)$ $a>2$ のとき

$0\leqq k\leqq 2$ で $g(k)$ は減少するので、最小値は $g(2)=4-4a+3a+4=8-a$ である。
$$8-a>0⟺a<8$$
$a>2$ と合わせて $2<a<8$。

$(1)$〜$(3)$ を合わせて、求める範囲は
$$-\frac{4}{3}<a<8$$
である。

（確認）$a=8$ のとき $g(2)=0$ となり、$k=2$ で方程式 $x^2-4x+4=0$ は重解 $x=2$ をもつので不適。$a=-\frac{4}{3}$ のとき $g(0)=0$ となり、$k=0$ で方程式 $x^2=0$ は重解をもつので不適。

判別式の $\frac{D}{4}=k^2-(2ak-3a-4)=k^2-2ak+3a+4$。$g(k)=k^2-2ak+3a+4=(k-a{)}^2-a^2+3a+4$ とおき、$0\leqq k\leqq 2$ で常に $g(k)>0$ となる条件を求める（最小値が正）。

(i) $a<0$ のとき、最小値は $g(0)=3a+4>0$ より $a>-\frac{4}{3}$。よって $-\frac{4}{3}<a<0$。

(ii) $0\leqq a\leqq 2$ のとき、最小値は $g(a)=-a^2+3a+4=-(a+1)(a-4)>0$ より $-1<a<4$。よって $0\leqq a\leqq 2$ はすべて適する。

(iii) $a>2$ のとき、最小値は $g(2)=8-a>0$ より $a<8$。よって $2<a<8$。

以上より $-\frac{4}{3}<a<8$。

検算: $a=-\frac{4}{3}$ のとき $g(0)=0$ で $k=0$ が重解となり不適。$a=8$ のとき $g(2)=0$ で不適。$a=1$ のとき $g(k)=k^2-2k+7>0$ で適。