2次関数の問題

左辺を $x$ について整理すると
$$P=x^2+2(y+a)x+(2y^2+4y+20)$$
となる。

ステップ 1：$y$ を固定して $x$ の 2 次不等式と見る

$y$ を 1 つ固定すると、$P$ は $x^2$ の係数が正の $x$ の 2 次式である。これがすべての実数 $x$ に対して正となる条件は、$x$ についての判別式を $D_1$ として $D_1<0$ である。
$$\frac{D_1}{4}=(y+a{)}^2-(2y^2+4y+20)$$
$$=y^2+2ay+a^2-2y^2-4y-20$$
$$=-y^2+(2a-4)y+a^2-20$$
したがって、すべての実数 $x,y$ で $P>0$ となる条件は、すべての実数 $y$ に対して
$$-y^2+(2a-4)y+a^2-20<0$$
すなわち
$$y^2-2(a-2)y-a^2+20>0$$
が成り立つことである。

ステップ 2：$y$ の 2 次不等式が常に成り立つ条件

これは $y^2$ の係数が正の $y$ の 2 次式なので、すべての実数 $y$ で正となる条件は、判別式を $D_2$ として $D_2<0$ である。
$$\frac{D_2}{4}=(a-2{)}^2-(-a^2+20)=a^2-4a+4+a^2-20=2a^2-4a-16$$
$$2a^2-4a-16<0⟺a^2-2a-8<0⟺(a+2)(a-4)<0$$
よって
$$-2<a<4$$
である。

（確認）$a=4$ のとき $\frac{D_1}{4}=-y^2+4y-4=-(y-2{)}^2$ は $y=2$ で $0$ となり、$x=-(y+a)=-6$ で $P=36-24+8-48+8+20=0$ となるので、$a=4$ は条件を満たさない。$a=0$ のとき $\frac{D_1}{4}=-y^2-4y-20=-(y+2{)}^2-16<0$ で条件を満たす。

左辺を $P$ とおく。$x$ について平方完成すると
$P=(x+y+a{)}^2-(y+a{)}^2+2y^2+4y+20=(x+y+a{)}^2+y^2+(4-2a)y+20-a^2$。

さらに $y$ について平方完成すると
$y^2+(4-2a)y+20-a^2=(y+2-a{)}^2-(2-a{)}^2+20-a^2=(y+2-a{)}^2-2a^2+4a+16$。

よって $P=(x+y+a{)}^2+(y+2-a{)}^2-2a^2+4a+16$。
$x+y+a=0$ かつ $y=a-2$ となる実数 $x,y$ が存在するので、$P$ の最小値は $-2a^2+4a+16$。

すべての実数 $x,y$ で $P>0$ となる条件は最小値が正であること:
$-2a^2+4a+16>0$ より $a^2-2a-8<0$、$(a-4)(a+2)<0$、$-2<a<4$。

検算: $a=0$ のとき最小値は $16>0$。$a=4$ のとき最小値は $-32+16+16=0$ で、$P>0$ は成り立たない（等号が成立する点がある）ので端点は含まない。