2次関数の問題

$f(x)=a{x}^2-2(a-1)x+2a-1$ とおく。求める条件は「$x\geqq 0$ のすべての $x$ で $f(x)\geqq 0$」である。$x^2$ の係数 $a$ の符号で場合分けする。

$(1)$ $a=0$ のとき

$f(x)=2x-1$ であり、$f(0)=-1<0$ となるので不適。

$(2)$ $a<0$ のとき

$y=f(x)$ のグラフは上に凸の放物線なので、$x$ を十分大きくすると $f(x)<0$ となる（たとえば軸より右側では $f(x)$ は減少し続け、いくらでも小さくなる）。よって不適。

$(3)$ $a>0$ のとき

平方完成すると
$$f(x)=a{\left(x-\frac{a-1}{a}\right)}^2-\frac{(a-1{)}^2}{a}+2a-1$$
であり、グラフは下に凸、軸は $x=\frac{a-1}{a}$ である。

$(\mathrm{i})$ $\frac{a-1}{a}\leqq 0$、すなわち $0<a\leqq 1$ のとき

$x\geqq 0$ で $f(x)$ は増加するので、最小値は $f(0)=2a-1$ である。
$$2a-1\geqq 0⟺a\geqq \frac{1}{2}$$
$0<a\leqq 1$ と合わせて $\frac{1}{2}\leqq a\leqq 1$。

$(\mathrm{ii})$ $\frac{a-1}{a}>0$、すなわち $a>1$ のとき

軸が $x>0$ の範囲にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標
$$f\left(\frac{a-1}{a}\right)=2a-1-\frac{(a-1{)}^2}{a}=\frac{a(2a-1)-(a-1{)}^2}{a}=\frac{a^2+a-1}{a}$$
である。$a>1$ より分母は正で、分子は $a^2+a-1>1+1-1=1>0$ となるので、最小値は常に正である。よって $a>1$ はすべて適する。

以上 $(1)$〜$(3)$ を合わせて、求める範囲は
$$a\geqq \frac{1}{2}$$
である。

（注意）「すべての実数 $x$ で $f(x)\geqq 0$」を求めてしまうと、$a>0$ かつ $\frac{D}{4}=(a-1{)}^2-a(2a-1)=-a^2-a+1\leqq 0$ から $a\geqq \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ となり、誤りである。$\frac{1}{2}\leqq a<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ では $f(x)=0$ が負の解をもつが、軸が $x\leqq 0$ にあるため $x\geqq 0$ では $f(x)\geqq 0$ が成り立つ。たとえば $a=\frac{1}{2}$ のとき $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x=\frac{1}{2}x(x+2)$ で、$x\geqq 0$ では $f(x)\geqq 0$ である。

$h(x)=a{x}^2-2(a-1)x+2a-1$ とおき、$x\geqq 0$ で常に $h(x)\geqq 0$ となる条件を求める。

(i) $a=0$ のとき $h(x)=2x-1$。$h(0)=-1<0$ で不適。

(ii) $a<0$ のとき、上に有界でなく $x\to \infty$ で $h(x)\to -\infty$ となり不適。

(iii) $a>0$ のとき下に凸。軸は $x=\frac{a-1}{a}$。
- $\frac{a-1}{a}\leqq 0$ すなわち $0<a\leqq 1$ のとき、$x\geqq 0$ での最小値は $h(0)=2a-1\geqq 0$ より $a\geqq \frac{1}{2}$。よって $\frac{1}{2}\leqq a\leqq 1$。
- $\frac{a-1}{a}>0$ すなわち $a>1$ のとき、最小値は頂点で、$h\left(\frac{a-1}{a}\right)=2a-1-\frac{(a-1{)}^2}{a}=\frac{a^2+a-1}{a}$。$a>1$ では $a^2+a-1>1>0$ なので常に成り立つ。よって $a>1$ はすべて適する。

以上より $a\geqq \frac{1}{2}$。

検算: $a=\frac{1}{2}$ のとき $h(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x\geqq 0$（$x\geqq 0$）で適。$a=0.4$ では $h(0)=-0.2<0$ で不適。