2次関数の問題

手順1：置き換える

$t=x^2+4x$ とおくと、方程式は
$$t^2-2t-a=0\text{すなわち}a=t^2-2t(1)$$
となる。

手順2：$t$ のとりうる範囲を求める

$t=x^2+4x=(x+2{)}^2-4$ である。$-3\leqq x\leqq 1$ において、頂点 $x=-2$ は定義域に含まれるので、最小値は $x=-2$ のとき $t=-4$ である。端の値は $x=-3$ のとき $t=9-12=-3$、$x=1$ のとき $t=1+4=5$ であるから、最大値は $5$ である。

よって、$x$ が $-3\leqq x\leqq 1$ を動くとき、$t$ のとりうる値の範囲は
$$-4\leqq t\leqq 5$$
である。この範囲の $t$ の値それぞれに対して、$t=x^2+4x$ をみたす $x$ が $-3\leqq x\leqq 1$ の範囲に少なくとも $1$ つある。

手順3：$t$ の方程式に言い換える

したがって、もとの方程式が $-3\leqq x\leqq 1$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ条件は、$(1)$ が $-4\leqq t\leqq 5$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつことである。

手順4：定数を分離してグラフで考える

$(1)$ の実数解は、放物線 $y=t^2-2t(-4\leqq t\leqq 5)$ と直線 $y=a$ の共有点の $t$ 座標である。
$$y=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$$
であり、頂点 $t=1$ は $-4\leqq t\leqq 5$ に含まれるので、最小値は $t=1$ のとき $y=-1$ である。端の値は $t=-4$ のとき $y=16+8=24$、$t=5$ のとき $y=25-10=15$ であるから、最大値は $24$ である。

よって、$y=t^2-2t$ は $-4\leqq t\leqq 5$ において $-1$ 以上 $24$ 以下のすべての値をとる。直線 $y=a$ がこのグラフと共有点をもつ条件は
$$-1\leqq a\leqq 24$$
である。

$t=x^2+4x=(x+2{)}^2-4$ とおく。$-3\leqq x\leqq 1$ のとき、$x=-2$ で最小値 $-4$、$x=1$ で最大値 $5$ をとる（$x=-3$ では $t=-3$）。$t$ は連続なので、$t$ のとりうる値の範囲は $-4\leqq t\leqq 5$ である。

与式は $t^2-2t-a=0$、すなわち $a=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$ となる。

$-4\leqq t\leqq 5$ でこの関数の値域を調べる。
- $t=1$ で最小値 $-1$
- $t=-4$ で $16+8=24$
- $t=5$ で $25-10=15$

よって最大値は $24$ である。

$a=(t-1{)}^2-1$ は連続だから、$a$ の値域は $-1\leqq a\leqq 24$ となる。この範囲の $a$ に対して、$-4\leqq t\leqq 5$ をみたす $t$ が存在し、その $t$ に対応する $x$ が $-3\leqq x\leqq 1$ の中にある。

検算：
- $a=-1$ のとき $t=1$。$x^2+4x-1=0$ より $x=-2+\sqrt{5}\approx 0.24$ で範囲内。
- $a=24$ のとき $t=-4$ または $t=6$。$t=-4$ から $x=-2$ で範囲内。

答え：$-1\leqq a\leqq 24$