2次関数の問題

手順1：置き換える

$t=x^2+2x$ とおくと、方程式は
$$t^2-2t-a=0\text{すなわち}{t}^2-2t=a(1)$$
となる。

手順2：$t$ のとりうる値の範囲を求める

$t=x^2+2x=(x+1{)}^2-1$ であり、定義域は $-3\leqq x\leqq 1$ である。軸 $x=-1$ は定義域に含まれるので、最小値は $x=-1$ のとき $t=-1$。端の値は $x=-3$ のとき $t=9-6=3$、$x=1$ のとき $t=1+2=3$ なので、最大値は $3$ である。

よって、$x$ が $-3\leqq x\leqq 1$ の範囲を動くとき、$t$ のとりうる値の範囲は
$$-1\leqq t\leqq 3$$
である。この範囲のどの $t$ に対しても、$x^2+2x=t$ をみたす $x$ が $-3\leqq x\leqq 1$ の中に少なくとも $1$ つある。

手順3：$t$ の方程式の問題に言い換える

したがって、もとの方程式が $-3\leqq x\leqq 1$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつことは、$t$ の方程式 $(1)$ が $-1\leqq t\leqq 3$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつことと同じである。

手順4：定数を分離してグラフで考える

$(1)$ の実数解は、$y=t^2-2t$ $(-1\leqq t\leqq 3)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点の $t$ 座標である。
$$y=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$$
軸 $t=1$ は $-1\leqq t\leqq 3$ に含まれるので、最小値は $t=1$ のとき $y=-1$。端の値は $t=-1$ のとき $y=1+2=3$、$t=3$ のとき $y=9-6=3$ なので、最大値は $3$ である。

グラフはつながっているので、$y$ は $-1$ 以上 $3$ 以下のすべての値をとる。よって、直線 $y=a$ とグラフが共有点をもつのは
$$-1\leqq a\leqq 3$$
のときである。

$t=x^2+2x=(x+1{)}^2-1$ とおく。$-3\leqq x\leqq 1$ のとき $-2\leqq x+1\leqq 2$ なので $0\leqq (x+1{)}^2\leqq 4$、よって $-1\leqq t\leqq 3$ である。逆に、$-1\leqq t\leqq 3$ の各 $t$ に対して、$x=-1+\sqrt{t+1}$ は $-3\leqq x\leqq 1$ を満たし $x^2+2x=t$ となる。したがって、$x$ が範囲内に解をもつことは、$t$ が $-1\leqq t\leqq 3$ に解をもつことと同値である。

方程式は $t^2-2t=a$ となる。$f(t)=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$ とおき、$y=f(t)$ と $y=a$ が $-1\leqq t\leqq 3$ で共有点をもつ条件を考える。

$f(t)$ は $t=1$ で最小値 $-1$ をとる。両端では $f(-1)=1+2=3$、$f(3)=9-6=3$ である。したがって $-1\leqq t\leqq 3$ での値域は $-1\leqq f(t)\leqq 3$ となる。

検算：$a=-1$ のとき $t=1$ で、$x=-1+\sqrt{2}\approx 0.41$ は範囲内にある。$a=3$ のとき $t=-1$ で、$x=-1$ は範囲内にある。

よって求める範囲は $-1\leqq a\leqq 3$ である。